Mostre que
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, indo para o ponto $ (2,2) $. O problema está na matéria de cálculo, mais especificamente em limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto do ponto em questão e usar algumas técnicas de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no que está acontecendo na função:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de zero quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (2,2) $. Isso nos dá uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, então precisamos analisar melhor.
Passo 3
Uma maneira comum de resolver limites de duas variáveis é usar coordenadas polares. Vamos fazer uma mudança de variável onde $ x = 2 + r \cos \theta $ e $ y = 2 + r \sin \theta $. Aqui, $ r $ representa a distância de $ (x, y) $ até $ (2,2) $, e $ \theta $ é o ângulo.
Passo 4
Substituindo essas expressões na função, temos:
Sabemos que $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $, então simplificamos o denominador:
Passo 5
Agora, para encontrar o limite quando $ r $ tende a 0, observamos que $ \cos^{4} \theta $ é limitado, já que $ \cos^{4} \theta \leq 1 $. Assim:
À medida que $ r $ se aproxima de 0, $ r^{2} $ também se aproxima de 0.
Passo 6
Portanto, pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), já que $ r^{2} \cos^{4} \theta $ está “apertado” entre 0 e $ r^{2} $, e ambos os limites extremos são 0, concluímos que:
Resposta
O limite é igual a 0.