1. Determine todos os pontos do gráfico da função f(x)=16 x^3+3x nos quais a reta tangente ao gráfico de f é paralela ao eixo O x.

Passo 1

O enunciado pede os pontos do gráfico de f(x)=16x^3+tfrac3x onde a reta tangente é paralela ao eixo O x. Para isso, vamos usar o conceito de derivada: tangente horizontal ocorre quando
f'(x)=0

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=16x^3+3x^-1,
f'(x)=ddxl(16x^3r)+ddxl(3x^-1r) =48x^2-3x^-2

Passo 3

Impondo f'(x)=0:
48x^2-3x^-2=0
Multiplicando ambos os lados por x^2 (e lembrando que xneq0):
48x^4-3=0 Longrightarrow x^4=348=116 Longrightarrow x=pm12

Passo 4

Agora achamos as ordenadas correspondentes:
fl(tfrac12r) =16l(tfrac12r)^3+3tfrac12 =16cdottfrac18+6 =2+6=8,
fl(-tfrac12r) =16l(-tfrac12r)^3+3-tfrac12 =16cdotl(-tfrac18r)-6 =-2-6=-8

Passo 5

Concluímos que os pontos onde a tangente é horizontal são
l(tfrac12,8r) e l(-tfrac12,-8r)

Resposta

l(tfrac12,8r) e l(-tfrac12,-8r).

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