Determine todos os pontos de inflexão de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar todos os pontos de inflexão da função $ y = \cos(x) $. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a análise de concavidade e pontos de inflexão. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas segunda da função e identificar onde há mudança na concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos de inflexão. São os pontos onde a curva muda de côncava para convexa ou vice-versa. Para encontrar esses pontos, a gente precisa verificar onde a segunda derivada da função muda de sinal.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de $ y = \cos(x) $. A primeira derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A derivada de $ -\sin(x) $ é $ -\cos(x) $. Então,
Passo 5
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos resolver a equação onde a segunda derivada é igual a zero:
Passo 6
Resolvendo $ \cos(x) = 0 $, sabemos que o cosseno é zero em $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é qualquer número inteiro. Portanto,
Passo 7
Agora, precisamos verificar se nesses pontos há realmente uma mudança de concavidade. Observando a segunda derivada $ y’’ = -\cos(x) $, percebemos que o cosseno muda de sinal nesses pontos:
- Antes de $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, $ \cos(x) $ é positivo, então $ y’’ = -\cos(x) $ é negativo.
- Depois de $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, $ \cos(x) $ é negativo, então $ y’’ = -\cos(x) $ é positivo.
Essa mudança de sinal confirma que há uma troca na concavidade, caracterizando um ponto de inflexão.
Resposta
Os pontos de inflexão da função $ y = \cos(x) $ ocorrem em todos os pontos $ x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, onde $ n $ é qualquer número inteiro.