Determine todos os pontos de inflexão de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar todos os pontos de inflexão da função $ y = \sin(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em termos de concavidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a primeira derivada da função $ y = \sin(x) $. A primeira derivada, $ y’ $, nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, $ y’’ $, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
Passo 4
Para identificar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal. Começamos encontrando os valores de $ x $ onde $ y’’ = 0 $:
Sabemos que $ \sin(x) = 0 $ quando $ x = n\pi $, onde $ n $ é qualquer número inteiro.
Passo 5
Agora, vamos verificar se realmente ocorre uma mudança de concavidade nesses pontos. Vamos analisar um pouco antes e um pouco depois de $ x = n\pi $:
- Para $ x $ ligeiramente menor que $ n\pi $, digamos $ x = n\pi - \varepsilon $, $ \sin(x) $ é negativo, então $ y’’ = -\sin(x) $ é positivo.
- Para $ x $ ligeiramente maior que $ n\pi $, digamos $ x = n\pi + \varepsilon $, $ \sin(x) $ é positivo, então $ y’’ = -\sin(x) $ é negativo.
Essa troca de sinal indica que a concavidade realmente muda nesses pontos, caracterizando-os como pontos de inflexão.
Resposta
Todos os pontos de inflexão da função $ y = \sin(x) $ estão nas coordenadas $ (n\pi, 0) $, onde $ n $ é qualquer número inteiro.