Determine todos os pontos de inflexão de y=sin (x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar todos os pontos de inflexão da função $ y = \sin(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta em termos de concavidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a primeira derivada da função $ y = \sin(x) $. A primeira derivada, $ y’ $, nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
y = sin(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, $ y’’ $, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
y''

Passo 4

Para identificar os pontos de inflexão, precisamos encontrar onde a segunda derivada muda de sinal. Começamos encontrando os valores de $ x $ onde $ y’’ = 0 $:
x
Sabemos que $ \sin(x) = 0 $ quando $ x = n\pi $, onde $ n $ é qualquer número inteiro.

Passo 5

Agora, vamos verificar se realmente ocorre uma mudança de concavidade nesses pontos. Vamos analisar um pouco antes e um pouco depois de $ x = n\pi $:
  • Para $ x $ ligeiramente menor que $ n\pi $, digamos $ x = n\pi - \varepsilon $, $ \sin(x) $ é negativo, então $ y’’ = -\sin(x) $ é positivo.
  • Para $ x $ ligeiramente maior que $ n\pi $, digamos $ x = n\pi + \varepsilon $, $ \sin(x) $ é positivo, então $ y’’ = -\sin(x) $ é negativo.
Essa troca de sinal indica que a concavidade realmente muda nesses pontos, caracterizando-os como pontos de inflexão.

Resposta

Todos os pontos de inflexão da função $ y = \sin(x) $ estão nas coordenadas $ (n\pi, 0) $, onde $ n $ é qualquer número inteiro.

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