Nesse exercício, a gente vai calcular a integral definida . O conteúdo principal é integral definida de funções que envolvem logaritmo, e vamos precisar usar mudança de base de logaritmo e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, usamos a mudança de base para escrever em termos de logaritmo natural. Sabemos que
Então a integral vira
Passo 3
Para resolver , vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que diz
Escolhemos:
Passo 4
Com essas escolhas, derivando e integrando, obtemos:
Então
Passo 5
Simplificando a parte restante,
Passo 6
Voltando à integral original, temos
Agora avaliamos nos limites:
Passo 7
Para :
Para x=1:
12ln 1 - 14 = -14
A diferença é
(8ln 4 - 4) - l(-tfrac14r) = 8ln 4 - tfrac154
Dividindo por ln 4 e simplificando, chegamos ao resultado final.