Resolva a integral definida integral1^4 x log 4 x d x

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai calcular a integral definida integral1^4 xlog4x,dx. O conteúdo principal é integral definida de funções que envolvem logaritmo, e vamos precisar usar mudança de base de logaritmo e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, usamos a mudança de base para escrever log4x em termos de logaritmo natural. Sabemos que
log4x = ln xln 4
Então a integral vira
integral1^4 xlog4x,dx = 1ln 4integral1^4 xln x,dx

Passo 3

Para resolver integral xln x,dx, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que diz
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos:
u = ln x, dv = x,dx

Passo 4

Com essas escolhas, derivando e integrando, obtemos:
du = 1x,dx, v = integral x,dx = x^22
Então
integral xln x,dx = x^22ln x - integral x^22cdot1x,dx

Passo 5

Simplificando a parte restante,
integral xln x,dx = x^22ln x - 12integral x,dx = x^22ln x - x^24 + C

Passo 6

Voltando à integral original, temos
integral1^4 xlog4x,dx = 1ln 4l[x^22ln x - x^24r]1^4
Agora avaliamos nos limites:

Passo 7

Para x=4:
x^22ln x - x^24m|4 = 8ln 4 - 4
Para x=1:
12ln 1 - 14 = -14
A diferença é
(8ln 4 - 4) - l(-tfrac14r) = 8ln 4 - tfrac154
Dividindo por ln 4 e simplificando, chegamos ao resultado final.

Resposta

8 - tfrac154ln 4

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