Esboce o gráfico das seguintes funções:
,
Passo 1
O enunciado nos pede para esboçar o gráfico da função cúbica
. O conteúdo aqui envolve análise de derivadas para determinar monotonicidade, pontos críticos, concavidade e interceptos, que são ferramentas típicas de cálculo diferencial para esboçar curvas.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira para encontrar onde a função cresce ou decresce e também os pontos críticos. Derivando temos:
Igualamos a zero para achar pontos críticos:
Testando o sinal de
: a função cresce em
, decresce em
e cresce de novo em
.
Passo 3
Agora vamos usar a segunda derivada para ver concavidade e ponto de inflexão. Derivando de novo:
Temos ponto de inflexão em
Passo 4
Precisamos dos interceptos e valores nos extremos locais.
– Intercepto em :
– Raiz real aproximada resolvendo :
– Valor no extremo em :
– Intercepto em
– Raiz real aproximada resolvendo
– Valor no extremo em
– Valor no extremo em
Passo 5
Com todos esses dados (crescimento/decrescimento, concavidade, interceptos, extremos e raiz) podemos esboçar o gráfico:
– A curva parte de , sobe até o máximo local em
, desce até o mínimo em
, cruza o eixo
em
e cresce para
.
– À esquerda de a concavidade é para baixo e à direita para cima.
– A curva parte de
– À esquerda de
Resposta
O esboço é uma curva cúbica que começa em
, cresce até o ponto de máximo local em
, decresce até o ponto de mínimo local em
, cruza o eixo
em aproximadamente
e depois cresce indefinidamente, com inflexão em
.