Esboce o gráfico das seguintes funções:
y=x^3-x-1,

Passo 1

O enunciado nos pede para esboçar o gráfico da função cúbica y = x^3 - x -1. O conteúdo aqui envolve análise de derivadas para determinar monotonicidade, pontos críticos, concavidade e interceptos, que são ferramentas típicas de cálculo diferencial para esboçar curvas.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira para encontrar onde a função cresce ou decresce e também os pontos críticos. Derivando temos:
y' = 3x^2 - 1
Igualamos a zero para achar pontos críticos:
3x^2-1=0 implies x=pm 1raiz3
Testando o sinal de y': a função cresce em ( -infty, -1/raiz3), decresce em (-1/raiz3, 1/raiz3) e cresce de novo em (1/raiz3, +infty).

Passo 3

Agora vamos usar a segunda derivada para ver concavidade e ponto de inflexão. Derivando de novo:
y''=6x
Temos ponto de inflexão em x=0. Para x<0, y''<0 (concavidade para baixo) e para x>0, y''>0 (concavidade para cima).

Passo 4

Precisamos dos interceptos e valores nos extremos locais.
– Intercepto em y: y(0)=-1
– Raiz real aproximada resolvendo x^3-x-1=0: xapprox1,3247
– Valor no extremo em x=-1/raiz3:
yl(-1/raiz3r)=,-0,615 (rm máximo local)á
– Valor no extremo em x=1/raiz3:
yl(1/raiz3r)=,-1,385 (rm mínimo local)í

Passo 5

Com todos esses dados (crescimento/decrescimento, concavidade, interceptos, extremos e raiz) podemos esboçar o gráfico:
– A curva parte de -infty,-infty), sobe até o máximo local em (-0,577,-0,615), desce até o mínimo em (0,577,-1,385), cruza o eixo x em (1,325,0) e cresce para +infty,+infty).
– À esquerda de x=0 a concavidade é para baixo e à direita para cima.

Resposta

O esboço é uma curva cúbica que começa em (x,y)to(-infty,-infty), cresce até o ponto de máximo local em (-0,577,-0,615), decresce até o ponto de mínimo local em (0,577,-1,385), cruza o eixo x em aproximadamente (1,325,0) e depois cresce indefinidamente, com inflexão em (0,-1).

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