Determine todos os pontos de interseção dos planos:
Pi1: 3 x+y=2 e Pi2: x+y-3 z=0

Passo 1

O enunciado pede a interseção dos planos
Pi1:3x+y=2
e
Pi2:x+y-3z=0
Isso é um problema de geometria analítica em R^3: a interseção de dois planos não coincidentes é uma reta. Para achar essa reta, vamos resolver o sistema de duas equações lineares em três incógnitas usando um parâmetro livre.

Passo 2

Escrevemos o sistema
3x + y = 2, x + y - 3z = 0
Como temos três incógnitas e só duas equações, escolhemos z=t como parâmetro livre.

Passo 3

Substituindo z=t na segunda equação, fica
x + y = 3t
Mantendo a primeira equação 3x+y=2, subtraímos
(x+y)-(3x+y)=3t-2 ;Longrightarrow;-2x=3t-2 ;Longrightarrow;x=1-tfrac32t
Em seguida,
y=3t - x = 3t -l(1-tfrac32tr) =-1+tfrac92t

Passo 4

Portanto todos os pontos de interseção são
(x,y,z)=l(1-tfrac32t,,-1+tfrac92t,,tr), tinR
Para evitar frações podemos reparametrizar: seja lambda=t/2. Então t=2lambda e
(x,y,z) =l(1-3lambda,,-1+9lambda,;2lambdar) =(1,-1,0)+lambda,(-3,9,2), lambdainR

Resposta

(x,y,z)=(1,-1,0)+lambda,(-3,9,2), lambdainR

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