Determine todos os pontos de intersecção das curvas fornecidas.
r=1+cos theta, r=1-sen theta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos de interseção das curvas polares
r = 1 + costheta
r = 1 - sintheta
Este problema envolve igualar as duas expressões de r e resolver para theta, depois calcular r correspondente.

Passo 2

Igualamos as duas fórmulas de r:
1 + costheta ;=; 1 - sintheta
Cancelando o 1 em ambos os lados, obtemos
costheta + sintheta = 0

Passo 3

Reescrevendo costheta + sintheta = 0 como
sintheta = -costheta
dividimos por costheta (onde costhetaneq0) e obtemos
tantheta = -1
Portanto
theta = -tfracpi4 + kpi, kinZ

Passo 4

Para obtermos as interseções em [0,2pi), escolhemos k=0 e k=1:
theta1 = -tfracpi4 + pi = tfrac3pi4, theta2 = -tfracpi4 + 2pi = tfrac7pi4

Passo 5

Agora calculamos r em cada theta, usando r=1+costheta (dá o mesmo que usar 1-sintheta):
Para theta1 = tfrac3pi4:
r1 = 1 + cos!l(tfrac3pi4r) = 1 - tfracraiz22 = 1 - raiz22
Para theta2 = tfrac7pi4:
r2 = 1 + cos!l(tfrac7pi4r) = 1 + tfracraiz22 = 1 + raiz22

Resposta

As curvas se intersectam exatamente nos pontos polares
l(r,thetar) = l(1 - tfracraiz22,,tfrac3pi4r) e l(1 + tfracraiz22,,tfrac7pi4r)

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