Resolva cada inequação abaixo e represente seu conjunto solução no círculo trigonométrico:
cos ^2 x>12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
cos^2x>tfrac12
e representar o conjunto-solução no círculo trigonométrico. O conteúdo é inequações trigonométricas e vamos usar a identidade cos^2x=|cos x|^2 e as propriedades de módulo e de periodicidade de cos x.

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade em termos de cos x, temos
cos^2x>tfrac12 Long<=ftrightarrow |cos x|>tfrac1raiz2,

Passo 3

Note que tfrac1raiz2=cosl(tfracpi4r). Logo
|cos x|>cosl(tfracpi4r)
implica dois casos simultâneos:
  1. cos x>cosl(tfracpi4r).
  2. cos x<-cosl(tfracpi4r).

Passo 4

Para cos x>cosl(tfracpi4r), como cos é decrescente em [0,pi], os x que satisfazem são aqueles mais próximos de 0, com amplitude tfracpi2. No intervalo principal isso dá
xinl(-tfracpi4,;tfracpi4r)
e, pela periodicidade 2pi, o conjunto geral é
xinl(-tfracpi4+2kpi,;tfracpi4+2kpir), kinZ

Passo 5

Para cos x<-cosl(tfracpi4r), procuramos os valores de x em que cos x está abaixo de -1/raiz2, ou seja próximo de pi. No período principal isso ocorre em
xinl(tfrac3pi4,;tfrac5pi4r)
e, acrescentando 2kpi, o conjunto geral é
xinl(tfrac3pi4+2kpi,;tfrac5pi4+2kpir), kinZ

Passo 6

Unindo os dois casos, a solução geral é
xinl(-tfracpi4+2kpi,;tfracpi4+2kpir) ;cup; l(tfrac3pi4+2kpi,;tfrac5pi4+2kpir), kinZ
No círculo trigonométrico (num período de 0 a 2pi), isso corresponde aos arcos abertos:
  • de -tfracpi4 até tfracpi4 (ou equivalentemente de 7pi/4 até 2pi mais de 0 a pi/4),
  • e de tfrac3pi4 até tfrac5pi4,
    todos sem incluir os pontos finais onde cos^2x=1/2.

Resposta

boxed xinl(-tfracpi4+2kpi,;tfracpi4+2kpir) ;cup; l(tfrac3pi4+2kpi,;tfrac5pi4+2kpir), kinZ

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