Q.3: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista.
Não utilize a regra de L’Hôpital! Porém, utilize as propriedades de limites, os limites fundamentais e teoremas para justificar suas respostas.
lim x -infty(x+5x-3)^2 x

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyl(x+5x-3r)^2x
que é um caso do tipo “ 1^infty”. Vamos usar a técnica de escrever a base como 1+u(x) com u(x)to0 e depois aplicar o limite fundamental
limxto al(1+u(x)r)^v(x) = e^liml(u(x),v(x)r)
sempre que u(x)to0 e v(x)topminfty.

Passo 2

Reescrevemos a fração dentro do parêntese como
x+5x-3 ;=;(x-3)+8x-3 ;=;1+8x-3
Logo, a expressão fica
l(tfracx+5x-3r)^2x =l(1+tfrac8x-3r)^2x

Passo 3

Definimos
u(x)=8x-3, v(x)=2x
Quando xto -infty temos u(x)to0 e v(x)to -infty. Calculamos o produto que vai para o expoente em e^cdot:
u(x),v(x) = 8x-3;cdot;2x =16,x,x-3, ;xrightarrow[xto-infty];16

Passo 4

Pelo limite fundamental de tipo 1^infty, concluímos
limxto -inftyl(1+tfrac8x-3r)^2x = e^liml(u(x),v(x)r) = e^16

Resposta

e^16

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