Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos em que
é diferenciável e também calcular
. Aqui vamos usar a regra da cadeia e a derivada de
.
Passo 2
Para que
esteja definida, é preciso que
-
seja real, ou seja, , isto é, . -
não estoure, o que exige . Logo
Além disso, nos pontos
temos
e aí
é indefinido.
Portanto o domínio de definição é
Portanto o domínio de definição é
Passo 3
Como
é composição de funções elementares (raiz, seno e recíproca) que são diferenciáveis sempre que estão definidas e desde que o denominador não anule, concluímos que
é diferenciável exatamente em todo
.
Passo 4
Para calcular
note que se definirmos
então
Também sabemos que
Pela regra da cadeia,
Substituindo
e
, obtemos
Resposta
A função
é diferenciável para
e sua derivada é