Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=csc (raizx^2-1)

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos em que
f(x)=cscl(raizx^2-1r)
é diferenciável e também calcular f'(x). Aqui vamos usar a regra da cadeia e a derivada de csc u.

Passo 2

Para que f(x) esteja definida, é preciso que
  1. raizx^2-1 seja real, ou seja, x^2-1>=0, isto é, |x|>=1.
  2. cscl(raizx^2-1r) não estoure, o que exige sinl(raizx^2-1r)neq0. Logo
raizx^2-1neq kpi, kinZ
Além disso, nos pontos |x|=1 temos raizx^2-1=0 e aí csc0 é indefinido.
Portanto o domínio de definição é
D=lxinRmid |x|>1, raizx^2-1neq kpi, kinZr

Passo 3

Como f é composição de funções elementares (raiz, seno e recíproca) que são diferenciáveis sempre que estão definidas e desde que o denominador não anule, concluímos que f é diferenciável exatamente em todo D.

Passo 4

Para calcular f'(x) note que se definirmos
u(x)=raizx^2-1=(x^2-1)^1/2,
então
u'(x)=12(x^2-1)^-1/2cdot2x =xraizx^2-1
Também sabemos que
ddul[csc ur]=-,csc u;cot u
Pela regra da cadeia,
f'(x) =ddxl[cscl(u(x)r)r] =-,cscl(u(x)r),cotl(u(x)r);u'(x)
Substituindo u(x) e u'(x), obtemos
f'(x) =-,cscl(raizx^2-1r), cotl(raizx^2-1r), xraizx^2-1

Resposta

A função f(x)=cscl(raizx^2-1r) é diferenciável para
xinl,xinRmid |x|>1, raizx^2-1neq kpi, kinZr,
e sua derivada é
f'(x)=-x,cscl(raizx^2-1r),cotl(raizx^2-1r)raizx^2-1

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