Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=sec (tan x)

Passo 1

O enunciado pede os pontos onde a função
f(x)=secl(tan xr)
é diferenciável e também a expressão de sua derivada. O conteúdo que vamos usar é análise de domínio de funções compostas (para garantir onde f está definida) e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Para que f(x) esteja definida, precisamos que
  1. tan x exista, ou seja cos xneq0, isto é
xneq pi2 + kpi, kinZ
  1. sec(u) exista em u=tan x, ou seja cos(tan x)neq0, isto é
tan xneq pi2 + mpi, minZ
Então o domínio de f é
D=lxinR;|;cos xneq0 e tan xneq tfracpi2 + mpir

Passo 3

Dentro de D, tan x e sec u são diferenciáveis. Aplicando a regra da cadeia, temos
f'(x) =l[sec(u)r]u=tan x';cdot;(tan x)' =l[sec(u)tan(u)r]u=tan x;cdot;sec^2x
portanto
f'(x)=secl(tan xr),tanl(tan xr),sec^2x,
válido para todo xin D.

Resposta

Os pontos onde f é diferenciável são
xneq pi2+kpi,e tan xneq pi2+mpi, k,minZ,
e
f'(x)=secl(tan xr),tanl(tan xr),sec^2x

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