Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=cot (3 x^2+5)

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os pontos onde a função
f(x)=cotl(3x^2+5r)
é diferenciável e, em seguida, calcular sua derivada. O conteúdo principal envolve a análise do domínio da função cotangente (que exclui pontos onde seu argumento é múltiplo de pi) e a aplicação da regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Para que cot(u) esteja definida, é preciso que sin(u)neq0. Aqui u=3x^2+5, então a condição é
sinl(3x^2+5r)neq0
Long<=ftrightarrow 3x^2+5neq kpi, kinZ
Logo os pontos excluídos do domínio são
x=pmraizkpi-53sempre que kpi-5>=0
Fora desses valores, f é bem definida.

Passo 3

Em qualquer ponto do domínio, f é composição de funções diferenciáveis ( xmapsto3x^2+5 e umapstocot(u)), portanto é diferenciável em todo x tal que 3x^2+5neq kpi.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia: seja u(x)=3x^2+5. Sabemos que
ddul(cot(u)r)=-csc^2(u),
e
u'(x)=ddx(3x^2+5)=6x
Logo
f'(x) =ddxcotl(u(x)r) =-csc^2l(u(x)r)cdot u'(x) =-csc^2l(3x^2+5r)cdot 6x =-6x,csc^2l(3x^2+5r)

Resposta

A função f(x)=cot(3x^2+5) é diferenciável em todos os xinR tais que
3x^2+5neq kpi, kinZ,
e sua derivada é
f'(x)=-6x,csc^2l(3x^2+5r)

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