Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) todos os pontos onde
é diferenciável e (b) a expressão de
.
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e o fato de que uma função do tipo só é diferenciável onde
.
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e o fato de que uma função do tipo
Passo 2
Chamando
a função pode ser vista como
Para que
esteja definida e diferenciável é necessário que o denominador não zere, isto é
Logo, o domínio de diferenciabilidade é
Passo 3
Vamos derivar
usando a regra da cadeia e a derivada de
. Se
, então
Aqui
. Assim
Passo 4
Só falta calcular
. Como
, temos
Substituindo em
e voltando a
, obtemos
Resposta
A função
é diferenciável em todo
tais que
isto é
e sua derivada é