Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
f(x)=1sen(x-sen x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1senl(x-sen xr)
e pede (a) todos os pontos onde f é diferenciável e (b) a expressão de f'(x).
O conteúdo usado será a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e o fato de que uma função do tipo 1/g(x) só é diferenciável onde g(x)neq0.

Passo 2

Chamando
u(x)=x-sen x,
a função pode ser vista como
f(x)=l[sen(u(x))r]^-1
Para que f esteja definida e diferenciável é necessário que o denominador não zere, isto é
senl(u(x)r)neq0 Long<=ftrightarrow u(x)neq kpi, ;kinZ
Logo, o domínio de diferenciabilidade é
,xinRmid x-sen xneq kpi,;kinZ

Passo 3

Vamos derivar f(x)=l[sen(u(x))r]^-1 usando a regra da cadeia e a derivada de 1/v. Se v=sen(u), então
ddxl(v^-1r) =-v^-2cdot v' =-v'v^2
Aqui v'=ddxsen(u)=cos(u),u'(x). Assim
f'(x) =-cosl(u(x)r),u'(x)sen^2l(u(x)r)

Passo 4

Só falta calcular u'(x). Como u(x)=x-sen x, temos
u'(x)=1-cos x
Substituindo em f'(x) e voltando a u(x)=x-sen x, obtemos
f'(x) =-l[1-cos xr];cosl(x-sen xr) sen^2l(x-sen xr)

Resposta

A função f é diferenciável em todo xinR tais que
senl(x-sen xr)neq0,
isto é
x-sen xneq kpi, kinZ,
e sua derivada é
boxed f'(x) =-l[1-cos xr];cosl(x-sen xr) sen^2l(x-sen xr)

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