Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raiz[3]x^2cos xl(x^4+tan^2x+1r)^2
e pede todos os pontos de diferenciabilidade e a derivada f'(x).
Conteúdos necessários: análise de domínio e diferenciabilidade de funções elementares (potências e tangente) e uso das regras do produto, quociente e cadeia para calcular a derivada.

Passo 2

Determinar o domínio de f e onde ela pode falhar em ser diferenciável:
  1. raiz[3]x^2=(x^2)^1/3 está bem definida em todo R, mas sua derivada tem singularidade em x=0.
  2. tan x e tan^2x estão definidas em Rsetminuslx=tfracpi2+kpimid kinZr.
Logo o domínio de f é
D=Rsetminuslx=tfracpi2+kpir,
e mesmo em D a componente (x^2)^1/3 não é diferenciável em x=0. Como 0in D, concluímos que f não é diferenciável em x=0.
Portanto f é diferenciável para todo
xin Dsetminus0 Long<=ftrightarrow xneq 0, xneq tfracpi2+kpi

Passo 3

Reescrevemos f como quociente de duas funções diferenciáveis (quando xneq0 e xneqtfracpi2+kpi):
u(x) = (x^2)^1/3cos x, v(x)=l(x^4+tan^2x+1r)^2
Calculamos u'(x) usando produto e potência:
ddx(x^2)^1/3 =13(x^2)^-2/3cdot 2x =23,x^-1/3,
então
u'(x) =23x^-1/3cos x -(x^2)^1/3sin x
Para v(x) usamos cadeia: sejam
g(x)=x^4+tan^2x+1, v(x)=g(x)^2
Então
g'(x)=4x^3+2tan xsec^2x, v'(x)=2,g(x),g'(x) =2l(x^4+tan^2x+1r)l(4x^3+2tan xsec^2xr)

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo:
f'(x) =l(tfrac23x^-1/3cos x-(x^2)^1/3sin xr) ,(x^4+tan^2x+1)^2 - (x^2)^1/3cos x ,2(x^4+tan^2x+1)(4x^3+2tan xsec^2x) (x^4+tan^2x+1)^4
Podemos simplificar um fator (x^4+tan^2x+1) no numerador e o denominador:
f'(x) = (x^4+tan^2x+1)l(tfrac23x^-1/3cos x-(x^2)^1/3sin xr) -2(x^2)^1/3cos x,(4x^3+2tan xsec^2x) (x^4+tan^2x+1)^3

Resposta

f é diferenciável em todos os x tais que
xneq 0 e xneq tfracpi2+kpi,;kinZ,
e sua derivada para esses x é
boxed f'(x) = (x^4+tan^2x+1)l(tfrac23x^-1/3cos x-(x^2)^1/3sin xr) -2(x^2)^1/3cos x,(4x^3+2tan xsec^2x) (x^4+tan^2x+1)^3

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