Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede todos os pontos de diferenciabilidade e a derivada
.
Conteúdos necessários: análise de domínio e diferenciabilidade de funções elementares (potências e tangente) e uso das regras do produto, quociente e cadeia para calcular a derivada.
Conteúdos necessários: análise de domínio e diferenciabilidade de funções elementares (potências e tangente) e uso das regras do produto, quociente e cadeia para calcular a derivada.
Passo 2
Determinar o domínio de
e onde ela pode falhar em ser diferenciável:
-
está bem definida em todo , mas sua derivada tem singularidade em . -
e estão definidas em .
Logo o domínio de
é
e mesmo em
a componente
não é diferenciável em
. Como
, concluímos que
não é diferenciável em
.
Portanto
é diferenciável para todo
Passo 3
Reescrevemos
como quociente de duas funções diferenciáveis (quando
e
):
Calculamos
usando produto e potência:
então
Para
usamos cadeia: sejam
Então
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Substituindo:
Podemos simplificar um fator
no numerador e o denominador:
Resposta
e sua derivada para esses
é