Usando a Regra do Quociente, calcule a derivada das funções:
43. g(x)=tan xx^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=tan xx^2
usando a regra do quociente. O conteúdo necessário é a identificação das funções u(x) e v(x), suas derivadas, e depois aplicar
gl(uvgr)'=u'v - u,v'v^2

Passo 2

Identificamos as funções do numerador e denominador:
u(x)=tan x, v(x)=x^2

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=sec^2x, v'(x)=2x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =sec^2xcdot x^2-tan xcdot 2x(x^2)^2 =x^2sec^2x-2xtan xx^4

Passo 5

Fatorando x no numerador para simplificar:
x^2sec^2x-2xtan x =xl(xsec^2x-2tan xr)
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g'(x) =xl(xsec^2x-2tan xr)x^4 =xsec^2x-2tan xx^3

Resposta

g'(x)=xsec^2x-2tan xx^3

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