Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
]
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos de diferenciabilidade e achar a derivada de cada uma destas funções hiperbólicas:
, e
. Vamos usar o fato de que exponenciais são diferenciáveis em todo
e depois aplicar regras de soma, produto e quociente.
,
Passo 2
Definimos as funções em termos da exponencial:
Como
e
são diferenciáveis em todo
, pelas regras de soma e multiplicação por constante concluímos que e
são diferenciáveis em todo
.
Passo 3
Para calcular
usamos
Logo,
Passo 4
De modo análogo,
Passo 5
Para aplicamos a regra do quociente. Primeiro notamos que
para todo
, logo
e
é diferenciável em todo
.
Passo 6
Usando a regra do quociente,
Pela identidade , segue
Resposta
Para todo
:
(a) é diferenciável em
e
(b)
é diferenciável em
e
(c)
é diferenciável em
e