Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 ]
cosh (x)=12(e^x+e^-x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos de diferenciabilidade e achar a derivada de cada uma destas funções hiperbólicas:
, e . Vamos usar o fato de que exponenciais são diferenciáveis em todo e depois aplicar regras de soma, produto e quociente.

Passo 2

Definimos as funções em termos da exponencial:
Como e são diferenciáveis em todo , pelas regras de soma e multiplicação por constante concluímos que e são diferenciáveis em todo .

Passo 3

Para calcular usamos
Logo,

Passo 4

De modo análogo,

Passo 5

Para aplicamos a regra do quociente. Primeiro notamos que para todo , logo e é diferenciável em todo .

Passo 6

Usando a regra do quociente,
Pela identidade , segue

Resposta

Para todo :
(a) é diferenciável em e
(b) é diferenciável em e
(c) é diferenciável em e

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