Seja f: R R uma função tal que |f(x)| <= 2|x| para qualquer x. Calcule lim x 0 f(x^3)x.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função fcolonRtoR tal que lvert f(x)rvert<=2lvert xrvert para todo x e pede o limite
limxto0f(x^3)x
O conteúdo principal aqui é cálculo de limites usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Pela desigualdade fornecida, para xneq0 vale
lvertf(x^3)xrvert = lvert f(x^3)rvertlvert xrvert <= 2lvert x^3rvertlvert xrvert = 2lvert x^2rvert = 2x^2
Como 2x^2>=0 e limxto02x^2=0, esse termo serve de “concha” superior no Teorema do Confronto.

Passo 3

Temos
0 <= lvertf(x^3)xrvert <= 2x^2
e como limxto02x^2=0, pelo Teorema do Confronto segue que
limxto0f(x^3)x=0

Resposta

0

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