Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
]
Passo 1
O enunciado pede os pontos em que
é diferenciável e a fórmula de
.
Conteúdo: domínio de uma potência com expoente real, derivada de função composta (exponencial, produto, arco‐seno) e uso da diferenciação via logaritmo (log‐diff).
Conteúdo: domínio de uma potência com expoente real, derivada de função composta (exponencial, produto, arco‐seno) e uso da diferenciação via logaritmo (log‐diff).
Passo 2
Para que
esteja bem definida e diferenciável em ponto
precisamos de dois requisitos:
.,O argumento de
deve pertencer a
, isto é
o que equivale a
.
.,A base da potência tem de ser positiva:
Chamando
a única solução de
(aproximadamente
), concluímos que o domínio de
é
Passo 3
Como em todo
as funções
,
e
são diferenciáveis e
, a composição que define
é diferenciável em todo ponto do domínio.
Passo 4
Para derivar
, usamos log‐diferenciação. Seja
Derivando ambos os lados:
Passo 5
Calculemos as derivadas parciais:
Logo
Passo 6
Voltando a
, obtemos
Substituindo
:
Resposta
Domínio e pontos de diferenciabilidade:
onde
satisfaz
(
).
Derivada em cada
do domínio: