Determine todos os pontos onde cada função é diferenciável e calcule a derivada da função. [Curiosidade: as funções senh, cosh e tanh são ditas seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica] [Observação:
cosh ^2(x)-senh^2(x)=1 ]
f(x)=(e^x+3 x)^arcsen(x^2)

Passo 1

O enunciado pede os pontos em que
f(x)=l(e^x+3xr)^arcsin(x^2)
é diferenciável e a fórmula de f'(x).
Conteúdo: domínio de uma potência com expoente real, derivada de função composta (exponencial, produto, arco‐seno) e uso da diferenciação via logaritmo (log‐diff).

Passo 2

Para que f(x) esteja bem definida e diferenciável em ponto x precisamos de dois requisitos:
1.,O argumento de arcsin deve pertencer a [-1,1], isto é
-1 <= x^2 <= 1,
o que equivale a |x|<= 1.
2.,A base da potência tem de ser positiva:
e^x+3x>0
Chamando alpha a única solução de e^x+3x=0 (aproximadamente alphaapprox -0,257), concluímos que o domínio de f é
,xinR: |x|<=1,;e^x+3x>0 =(alpha,1]

Passo 3

Como em todo (alpha,1] as funções e^x, 3x e arcsin(x^2) são diferenciáveis e e^x+3x>0, a composição que define f é diferenciável em todo ponto do domínio.

Passo 4

Para derivar f, usamos log‐diferenciação. Seja
y = f(x), ln y = arcsin(x^2);lnl(e^x+3xr)
Derivando ambos os lados:
y'y = ddxl[arcsin(x^2)r];lnl(e^x+3xr) + arcsin(x^2);ddxl[lnl(e^x+3xr)r]

Passo 5

Calculemos as derivadas parciais:
ddxl[arcsin(x^2)r] = 1raiz1-(x^2)^2cdot 2x = 2xraiz1-x^4,
ddxl[ln(e^x+3x)r] = (e^x+3)e^x+3x
Logo
y'y = 2xraiz1-x^4;lnl(e^x+3xr) + arcsin(x^2);e^x+3e^x+3x

Passo 6

Voltando a y=f(x), obtemos
f'(x) = f(x),gl[2xraiz1-x^4,lnl(e^x+3xr) + arcsin(x^2),e^x+3e^x+3xgr]
Substituindo f(x):
f'(x) = l(e^x+3xr)^arcsin(x^2) gl[2xraiz1-x^4,lnl(e^x+3xr) + arcsin(x^2),(e^x+3)e^x+3xgr]

Resposta

Domínio e pontos de diferenciabilidade:
onde satisfaz ( ).
Derivada em cada do domínio:

Exercícios relacionados