Determine todos os pontos onde cada função vetorial é diferenciável e calcule a derivada da função.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede (a) todos os pontos em que ela é diferenciável e (b) seu vetor derivada
. Vamos usar o fato de que uma função vetorial é diferenciável em todo ponto onde cada componente escalar for diferenciável.
Passo 2
As componentes escalares são
e
. Sabemos que:
- Polinômios são diferenciáveis em todo
. - A função
é diferenciável para todo , e a composição também é diferenciável em todo .
Portanto,é diferenciável em todo . Logo, é diferenciável para todo .
Passo 3
Vamos derivar cada componente:
- Para
,
- Para
, pela regra da cadeia,
Passo 4
Reunindo em forma vetorial, temos
Resposta
A função
é diferenciável para todo
, e sua derivada é