Determine todos os pontos onde cada função vetorial é diferenciável e calcule a derivada da função.
v(t)=(t^3+3 t) i-cos (t^2) j

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
v(t) = l(t^3 + 3tr),i ;-;cosl(t^2r),j
e pede (a) todos os pontos em que ela é diferenciável e (b) seu vetor derivada v'(t). Vamos usar o fato de que uma função vetorial é diferenciável em todo ponto onde cada componente escalar for diferenciável.

Passo 2

As componentes escalares são f(t)=t^3+3t e g(t)=-cos(t^2). Sabemos que:
  1. Polinômios são diferenciáveis em todo R.
  2. A função cos(u) é diferenciável para todo u, e a composição u(t)=t^2 também é diferenciável em todo R.
    Portanto, g(t) é diferenciável em todo R. Logo, v(t) é diferenciável para todo tinR.

Passo 3

Vamos derivar cada componente:
  • Para f(t)=t^3+3t,
f'(t)=3t^2+3
  • Para g(t)=-cosl(t^2r), pela regra da cadeia,
g'(t) = -l(-sin(t^2)r)cdot 2t = 2t,sinl(t^2r)

Passo 4

Reunindo em forma vetorial, temos
v'(t) = f'(t),i + g'(t),j = l(3t^2+3r),i ;+; 2t,sinl(t^2r),j

Resposta

A função v(t) é diferenciável para todo tinR, e sua derivada é
v'(t) = l(3t^2+3r),i + 2t,sinl(t^2r),j

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