Encontre os números críticos da função
h(x)=4 x-\operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede os números críticos de h(x)=4x-\tan(x). Isso envolve encontrar o domínio de h, calcular sua derivada h'(x) e determinar onde h'(x)=0 ou onde h'(x) não existe (mas h existe).

Passo 2

Identificamos o domínio de h. Como \tan(x) não está definido em x = \tfrac\pi2 + k\pi, k\in\mathbb{Z}, temos
\Dom(h)=\mathbb{R}\setminus\bigl\{\tfrac\pi2+k\pi : k\in\mathbb{Z}\bigr\}.

Passo 3

Calculamos a derivada de h. Usando \frac{d}{dx}(4x)=4 e \frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)\bigr)=\operatorname{sec}^2(x), obtemos
h'(x)=4-\operatorname{sec}^2(x).

Passo 4

Buscamos onde h'(x)=0. Igualando a zero:
4-\operatorname{sec}^2(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}^2(x)=4 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sec}(x)=\pm2 \quad\Longrightarrow\quad \cos(x)=\pm\tfrac12.
As soluções gerais de \cos(x)=\tfrac12 são
x = \pm\tfrac\pi3 + 2k\pi,
e de \cos(x)=-\tfrac12 são
x = \pi\pm\tfrac\pi3 + 2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Verificamos que nenhuma dessas soluções coincide com x=\tfrac\pi2+k\pi, portanto todas estão no domínio de h. Não há outros pontos onde h'(x) fique indefinida dentro do domínio de h.

Resposta

Os números críticos de h são
x = \pm\tfrac\pi3 + 2k\pi \quad\text{e}\quad x = \pi\pm\tfrac\pi3 + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

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