Determine todos os subqgupos de ( Z17,+ ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de (Z17,+). O conteúdo principal é teoria de grupos cíclicos e o que vamos usar é o fato de que subgrupos de um grupo cíclico correspondem aos divisores de sua ordem (teorema sobre subgrupos de grupos cíclicos).

Passo 2

Observamos que Z17 sob adição é um grupo cíclico de ordem 17. De fato, qualquer elemento 1,2,dots,16 gera todo o grupo, e #Z17=17.

Passo 3

Aplicamos o teorema que diz: em um grupo cíclico de ordem n, para cada divisor d de n existe exatamente um subgrupo de ordem d.

Passo 4

Como 17 é primo, seus únicos divisores são 1 e 17.

Passo 5

Pelos divisores:
  • Para d=1 há um único subgrupo de ordem 1, que é 0.
  • Para d=17 há um único subgrupo de ordem 17, que é o próprio Z17.

Resposta

Os únicos subgrupos de (Z17,+) são 0 e Z17.

Exercícios relacionados