Determine todos os subqgupos de (
).
Passo 1
O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de
. O conteúdo principal é teoria de grupos cíclicos e o que vamos usar é o fato de que subgrupos de um grupo cíclico correspondem aos divisores de sua ordem (teorema sobre subgrupos de grupos cíclicos).
Passo 2
Observamos que
sob adição é um grupo cíclico de ordem
. De fato, qualquer elemento
gera todo o grupo, e
.
Passo 3
Aplicamos o teorema que diz: em um grupo cíclico de ordem
, para cada divisor
de
existe exatamente um subgrupo de ordem
.
Passo 4
Como
é primo, seus únicos divisores são
e
.
Passo 5
Pelos divisores:
- Para
há um único subgrupo de ordem , que é . - Para
há um único subgrupo de ordem , que é o próprio .
Resposta
Os únicos subgrupos de
são
e
.