B. 3 Para que valor de p os pontos A(1, p), B(2,7) e C(p-1,-5) são colineares?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o(s) valor(es) de p tais que os pontos A(1,p), B(2,7) e C(p-1,-5) sejam colineares. O conteúdo é geometria analítica no plano, usando a condição de colinearidade: a área do triângulo formado por três pontos é zero, o que equivale a anular o determinante das coordenadas.

Passo 2

Escrevemos a condição de colinearidade via determinante 3×3:
1 & p & 1 2 & 7 & 1 p-1 & -5 & 1 =0

Passo 3

Calculamos esse determinante por expansão na primeira linha:
1cdot(7cdot1 - 1cdot(-5)) - pcdot(2cdot1 - 1cdot(p-1)) + 1cdotl(2cdot(-5) - 7cdot(p-1)r) =0
Isso dá
1cdot(7+5)-pcdot(2-p+1)+l(-10-7p+7r)=0,
12 - p(3-p) - (3+7p)=0,
12 -3p + p^2 -3 -7p=0,
p^2 -10p +9=0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática p^2 -10p +9=0 pela fórmula de Bhaskara:
p = 10 pm raiz(-10)^2 - 4cdot1cdot92 = 10 pm raiz100 -362 = 10 pm raiz642 = 10 pm 82
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p = 9 ou p = 1

Resposta

Os valores de p que tornam A, B e C colineares são p=9 ou p=1.

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