Determine todos os subqgupos de ( Z9,+ ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os subgrupos de (Z9,+). Aqui estamos na parte de grupos cíclicos finitos e vamos usar o fato de que todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico e seu ordem divide a ordem do grupo ambiente.

Passo 2

Como Z9 é um grupo cíclico de ordem 9, então todo subgrupo também é cíclico e sua ordem deve ser um divisor de 9.

Passo 3

Os divisores de 9 são 1, 3 e 9. Logo, há exatamente um subgrupo de cada uma dessas ordens.

Passo 4

– Subgrupo de ordem 1: é o trivial lang<= 0rang<= =0.
– Subgrupo de ordem 3: é lang<= 3rang<=. Calculando os múltiplos de 3 em Z9 temos
lang<= 3rang<= = 0,,3,,6
– Subgrupo de ordem 9: é o próprio grupo lang<= 1rang<= = Z9.

Resposta

Os subgrupos de (Z9,+) são
0,
0,3,6
e
Z9.

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