Determine todos os valores de \alpha para os quais a função y=e^{\alpha x} é solução da equação
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-5 \frac{d y}{d x}+6 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 5\,\frac{dy}{dx} + 6\,y = 0
e pede para encontrar todos os valores de \alpha tais que
y = e^{\alpha x}
é solução. O método padrão é usar a substituição y=e^{\alpha x}, calcular as derivadas e obter a equação característica em \alpha.

Passo 2

Calculemos y' e y'' quando y=e^{\alpha x}:
y' = \alpha\,e^{\alpha x},
y'' = \alpha^{2}\,e^{\alpha x}.

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:
\alpha^{2}\,e^{\alpha x} \;-\; 5\,\bigl(\alpha\,e^{\alpha x}\bigr) \;+\; 6\,\bigl(e^{\alpha x}\bigr) \;=\; 0
Colocando e^{\alpha x} em evidência, que nunca é zero, sobra a equação característica
\alpha^{2} \;-\; 5\,\alpha \;+\; 6 \;=\; 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
\alpha^{2} - 5\,\alpha + 6 = 0
o discriminante é
\Delta = (-5)^{2} - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1,
logo as raízes são
\alpha = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2},
ou seja
\alpha_{1} = 3 \quad\text{e}\quad \alpha_{2} = 2.

Resposta

Os valores de \alpha são \alpha = 2 e \alpha = 3.

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