Prove que \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(\operatorname{sen}^{4} x+\cos ^{4} x\right)=4^{n-1} \cos \left(4 x+n \frac{\pi}{2}\right) para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N},
\frac{d^{n}}{dx^{n}}\bigl(\sin^{4}x+\cos^{4}x\bigr) =4^{\,n-1}\cos\!\Bigl(4x+\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).
Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a função e, em seguida, provar por indução.

Passo 2

Usamos
\sin^{4}x+\cos^{4}x =(\sin^{2}x+\cos^{2}x)^{2}-2\sin^{2}x\cos^{2}x =1-\tfrac12\sin^{2}2x =1-\tfrac14\bigl(1-\cos4x\bigr) =\tfrac34+\tfrac14\cos4x.
Dessa forma definimos
f(x)=\sin^{4}x+\cos^{4}x =\tfrac34+\tfrac14\cos4x.

Passo 3

Calculamos a derivada de ordem 1:
f'(x) =\tfrac14\cdot(-4\sin4x) =-\sin4x.
Como \cos\bigl(4x+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\sin4x, temos
f'(x)=4^{0}\cos\!\Bigl(4x+\tfrac{\pi}{2}\Bigr),
logo a fórmula vale para n=1.

Passo 4

Suponha que, para algum n\ge1, já valha
\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x) =4^{\,n-1}\cos\!\Bigl(4x+\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).
Então a derivada de ordem n+1 é
\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}f(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[4^{\,n-1}\cos\!\bigl(4x+\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr] =4^{\,n-1}\bigl(-\sin(4x+\tfrac{n\pi}{2})\bigr)\cdot4 =4^{\,n}\cos\!\Bigl(4x+\tfrac{n\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}\Bigr) =4^{\,n}\cos\!\Bigl(4x+\tfrac{(n+1)\pi}{2}\Bigr).
Isso mostra que, se vale para n, vale também para n+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução, a fórmula
\frac{d^{n}}{dx^{n}}\bigl(\sin^{4}x+\cos^{4}x\bigr) =4^{\,n-1}\cos\!\Bigl(4x+\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)
vale para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N},
\frac{d^{n}}{dx^{n}}\bigl(\sin^{4}x+\cos^{4}x\bigr) =4^{\,n-1}\cos\!\Bigl(4x+\tfrac{n\pi}{2}\Bigr).

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