Prove que
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
Vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a função e, em seguida, provar por indução.
Passo 2
Usamos
Dessa forma definimos
Passo 3
Calculamos a derivada de ordem
:
Como
, temos
logo a fórmula vale para
.
Passo 4
Suponha que, para algum
, já valha
Então a derivada de ordem
é
Isso mostra que, se vale para
, vale também para
.
Passo 5
Pelo princípio da indução, a fórmula
vale para todo
.
Resposta
Para todo
,