Se f for uma função diferenciável e g(x)=x \cdot f(x), use a definição de derivada para mostrar que g^{\prime}(x)=x \cdot f^{\prime}(x)+f(x).

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável e define
g(x)=x\cdot f(x).
O objetivo é usar a definição de derivada
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}
para mostrar que
g'(x)=x\,f'(x)+f(x).

Passo 2

Começamos escrevendo a diferença quociente de g:
\frac{g(x+h)-g(x)}{h} =\frac{(x+h)\,f(x+h)-x\,f(x)}{h}.

Passo 3

Expandimos o numerador agrupando termos em comum:
(x+h)\,f(x+h)-x\,f(x) = x\,f(x+h)+h\,f(x+h)-x\,f(x).
Logo,
\frac{g(x+h)-g(x)}{h} =\frac{x\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)}{h} \;+\;\frac{h\,f(x+h)}{h} = x\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \;+\; f(x+h).

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando h\to0. Como f é diferenciável, vale
\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0}f(x+h)=f(x).
Portanto,
g'(x) =\lim_{h\to0}\Bigl[x\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x+h)\Bigr] =x\,f'(x)+f(x).

Resposta

g'(x)=x\,f'(x)+f(x).

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