Determine todos os valores das expressões dadas:
\ln i

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os valores de \ln i. O conteúdo da matéria é o logaritmo complexo, que é multivalorado. Vamos usar a definição
\ln z = \ln\lvert z\rvert + i\,\arg(z)
com \arg(z)=\theta+2\pi k, k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Calculamos o módulo de i:
\lvert i\rvert = 1
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\ln\lvert i\rvert = \ln 1 = 0.

Passo 3

Para o argumento de i, sabemos que no plano complexo i corresponde ao ponto (0,1), cujo argumento principal é \pi/2. Como o argumento é multivalorado,
\arg(i) = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Portanto,
\ln i = 0 + i\!\Bigl(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Bigr) = i\Bigl(\frac{\pi}{2}+2\pi k\Bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\ln i = i\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + 2\pi k\Bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.

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