(a) ( 20 pontos) Determine todos os pontos críticos, interprete o que cada ponto crítico representa no problema, analise seu tipo e sua estabilidade.
(b) ( 20 pontos) Explique o que deve acontecer com a trajetória da solução quando t \longrightarrow \infty no caso em que as condições iniciais estão suficientemente próximas do ponto ( 0,5 ; 1,5 ).
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema predador-presa com densidades populacionais x(t)\) e \(y(t)\):
\[\begin{cases} x'(t)=x\bigl(1-0,5x-0,5y\bigr),\\\ y'(t)=y\bigl(-0,25+0,5x\bigr). \end{cases}
O que precisamos:
Encontrar todos os pontos críticos resolvendo x'=0\] e \(y'=0.
Interpretar o significado biológico de cada ponto.
Linearizar com a matriz jacobiana J e avaliar em cada ponto para achar autovalores, classificando tipo e estabilidade.
Para (b), explicar o comportamento das trajetórias perto do ponto (0,5;1,5).
Passo 2
Determinar pontos críticos:
x'=0 ocorre se x=0 ou se 1-0,5x-0,5y=0, i.e.\ y=2-x.
y'=0 ocorre se y=0 ou se -0,25+0,5x=0, i.e.\ x=0,5.
Combinações que satisfazem ambas:
x=0 e y=0, dando o ponto \,(0;0).
y=0 e 1-0,5x=0\implies x=2, dando \,(2;0).
x=0,5 e y=2-0,5=1,5, dando \,(0,5;1,5).
Interpretação biológica:
(0;0): extinção de ambas as espécies.
(2;0): presa estabilizada na capacidade de carga x=2, predador extinto.
(0,5;1,5): coexistência não trivial, presas e predadores positivos.
Traço \tau=-0,25, determinante \Delta=0,1875>0, discriminante \tau^2-4\Delta<0.
Tipo: foco (autovalores complexos) com parte real negativa (\tau<0), portanto foco estável (espiral atractora).
Passo 5
Para condições iniciais suficientemente próximas de (0,5;1,5), a solução irá girar em espiral em torno desse ponto e convergir para ele à medida que t\to\infty. Biologicamente, a população de presas e predadores oscila amortecidamente até estabilizar nos valores x=0,5 e y=1,5.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(0;0) – sela instável;
(2;0) – sela instável;
(0,5;1,5) – foco estável.
(b) Para t\to\infty e condições iniciais perto de (0,5;1,5), a trajetória espirala e converge para (0,5;1,5), alcançando coexistência estável.