O problema abaixo pode descrever a interação entre duas espécies (Predador-Presa) com densidades populacionais x e y em determinado ambiente fechado:
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}(t)=x(1-0,5 x-0,5 y) \\\ y^{\prime}(t)=y(-0,25+0,5 x) . \end{array}\right.
(a) ( 20 pontos) Determine todos os pontos críticos, interprete o que cada ponto crítico representa no problema, analise seu tipo e sua estabilidade.
(b) ( 20 pontos) Explique o que deve acontecer com a trajetória da solução quando t \longrightarrow \infty no caso em que as condições iniciais estão suficientemente próximas do ponto ( 0, 5 ; 1,5 ).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema predador-presa com densidades populacionais x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} x'(t)=x\bigl(1-0,5x-0,5y\bigr),\\\ y'(t)=y\bigl(-0,25+0,5x\bigr). \end{cases}
O que precisamos:
  1. Encontrar todos os pontos críticos resolvendo x'=0\] e \(y'=0.
  2. Interpretar o significado biológico de cada ponto.
  3. Linearizar com a matriz jacobiana J e avaliar em cada ponto para achar autovalores, classificando tipo e estabilidade.
  4. Para (b), explicar o comportamento das trajetórias perto do ponto (0,5;1,5).

Passo 2

Determinar pontos críticos:
  1. x'=0 ocorre se x=0 ou se 1-0,5x-0,5y=0, i.e.\ y=2-x.
  2. y'=0 ocorre se y=0 ou se -0,25+0,5x=0, i.e.\ x=0,5.
    Combinações que satisfazem ambas:
  • x=0 e y=0, dando o ponto \,(0;0).
  • y=0 e 1-0,5x=0\implies x=2, dando \,(2;0).
  • x=0,5 e y=2-0,5=1,5, dando \,(0,5;1,5).
Interpretação biológica:
  • (0;0): extinção de ambas as espécies.
  • (2;0): presa estabilizada na capacidade de carga x=2, predador extinto.
  • (0,5;1,5): coexistência não trivial, presas e predadores positivos.

Passo 3

Calcular o jacobiano geral:
J(x,y) =\begin{pmatrix} \frac{\partial x'}{\partial x}&\frac{\partial x'}{\partial y}\\[6pt] \frac{\partial y'}{\partial x}&\frac{\partial y'}{\partial y} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-x-0,5y&-0,5x\\[3pt] 0,5y&-0,25+0,5x \end{pmatrix}.
Em cada ponto crítico, avaliamos J e obtemos seus autovalores \lambda pela equação característica \det(J-\lambda I)=0.]

Passo 4

  1. Em (0;0):
J(0,0)=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-0,25\end{pmatrix},
autovalores \lambda_1=1>0, \lambda_2=-0,25<0.
Tipo: sela (um modo estável e outro instável). Instável globalmente.
  1. Em (2;0):
J(2,0)=\begin{pmatrix}-1&-1\\\ 0&0,75\end{pmatrix},
autovalores \lambda_1=-1<0, \lambda_2=0,75>0.
Também sela instável.
  1. Em (0,5;1,5):
J(0,5,1,5)=\begin{pmatrix}-0,25&-0,25\\\ 0,75&0\end{pmatrix}.
Traço \tau=-0,25, determinante \Delta=0,1875>0, discriminante \tau^2-4\Delta<0.
Tipo: foco (autovalores complexos) com parte real negativa ( \tau<0), portanto foco estável (espiral atractora).

Passo 5

Para condições iniciais suficientemente próximas de (0,5;1,5), a solução irá girar em espiral em torno desse ponto e convergir para ele à medida que t\to\infty. Biologicamente, a população de presas e predadores oscila amortecidamente até estabilizar nos valores x=0,5 e y=1,5.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0;0) – sela instável;
(2;0) – sela instável;
(0,5;1,5) – foco estável.
(b) Para t\to\infty e condições iniciais perto de (0,5;1,5), a trajetória espirala e converge para (0,5;1,5), alcançando coexistência estável.

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