Demostre que \cos z=\operatorname{cosh} i z e sen z=-i \operatorname{senh} i z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções trigonométricas complexas se relacionam com as hiperbólicas ao substituir o argumento por i z. Para isso vamos usar as definições por exponenciais de Euler:
\cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2},\quad \sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i},
\operatorname{cosh} w=\frac{e^{w}+e^{-w}}{2},\quad \operatorname{sinh} w=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}.

Passo 2

Aplicando a definição de \operatorname{cosh} w com w=i z, temos
\operatorname{cosh}(i z)=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2}.
Como essa expressão coincide exatamente com a definição de \cos z, conclui-se que
\cos z=\operatorname{cosh}(i z).

Passo 3

Agora aplicamos a definição de \operatorname{sinh} w com w=i z:
\operatorname{sinh}(i z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}.
Compare com a definição de \sin z:
\sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}.
Daí
\operatorname{sinh}(i z)=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2}=i\,\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2i}=i\,\sin z
e, isolando \sin z,
\sin z=-\,i\,\operatorname{sinh}(i z).

Resposta

\cos z=\operatorname{cosh}(i z) e \sin z=-\,i\,\operatorname{sinh}(i z).

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