Determine todos os valores para os quais f é contínua:
f(x)=5x^3-x^2

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma função $ f(x) = \frac{5}{x^{3} - x^{2}} $. A pergunta é para descobrir em quais valores de $ x $ essa função é contínua. Vamos precisar entender sobre continuidade de funções e também dar uma olhada no denominador dessa fração para ver onde ele pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Simplificando, uma função é contínua em um ponto se não tem “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Para funções racionais como essa, onde temos um polinômio no numerador e no denominador, a função será contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero, porque divisão por zero é indefinida.

Passo 3

Então, vamos descobrir onde o denominador $ x^{3} - x^{2} $ é igual a zero. Vamos resolver a equação:
x^3 - x^2
Podemos fatorar $ x^{2} $ da expressão:
x^3 - x^2 = 0
Agora, igualamos cada fator a zero:
x^2
Isso nos dá as soluções:
x^2(x - 1) = 0

Passo 4

Esses valores $ x = 0 $ e $ x = 1 $ são exatamente os pontos onde o denominador se anula, ou seja, onde a função $ f(x) $ não está definida. Portanto, a função não é contínua nesses pontos.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{5}{x^{3} - x^{2}} $ é contínua para todos os valores de $ x $ exceto $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

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