Calcular a integral de superfície da função rho(x, y, z)=2 x+y sobre a supercície
K=(x, y, z) mid x^2+y^2=2,-1 <= z <= 1
(Suegestão: A função f: S R^2, sendo S=[0,2 pi] times[-1,1], dada por f(u, v)=(raiz2 cos u, raiz2 sen u, v), parametriza a superfície K.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função rho(x, y, z) = 2x + y sobre a superfície K, que é um cilindro definido por x^2 + y^2 = 2 e z variando de -1 a 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de superfícies e calcular a integral usando coordenadas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície K. Ela é um cilindro circular com raio raiz2 (porque x^2 + y^2 = 2) que se estende de z = -1 até z = 1. Para parametrizar essa superfície, podemos usar ângulos e coordenadas z, já que é um cilindro.

Passo 3

A sugestão do enunciado é usar a parametrização f(u, v) = (raiz2 cos u, raiz2 sin u, v), onde u vai de 0 a 2pi (para cobrir todo o círculo) e v vai de -1 a 1 (para cobrir a altura do cilindro). Essa parametrização mapeia cada par (u, v) para um ponto na superfície K.

Passo 4

Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais da parametrização em relação a u e v:
fu = partial fpartial u = (-raiz2 sin u, raiz2 cos u, 0)
fv = partial fpartial v = (0, 0, 1)

Passo 5

O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o elemento de área dS:
fu times fv = i & j & k -raiz2 sin u & raiz2 cos u & 0 0 & 0 & 1 = (raiz2 cos u) i + (raiz2 sin u) j + 0 k
O módulo desse produto vetorial é:
|fu times fv| = raiz (raiz2 cos u)^2 + (raiz2 sin u)^2 = raiz2 (cos^2 u + sin^2 u) = raiz2

Passo 6

Agora, expressamos a função rho(x, y, z) em termos das parametrizações u e v:
rho(f(u, v)) = 2x + y = 2 (raiz2 cos u) + raiz2 sin u = 2raiz2 cos u + raiz2 sin u

Passo 7

A integral de superfície fica então:
integral duplaK rho(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral-1^1 (2raiz2 cos u + raiz2 sin u) cdot raiz2 , dv , du

Passo 8

Simplificamos multiplicando raiz2:
= integral0^2pi integral-1^1 (2raiz2 cos u + raiz2 sin u) raiz2 , dv , du = integral0^2pi integral-1^1 (4 cos u + 2 sin u) , dv , du

Passo 9

Como a função a ser integrada não depende de v, podemos integrar em v facilmente:
= integral0^2pi (4 cos u + 2 sin u) cdot (1 - (-1)) , du = integral0^2pi (4 cos u + 2 sin u) cdot 2 , du = 2 integral0^2pi (4 cos u + 2 sin u) , du

Passo 10

Agora, integramos termo a termo:
= 2 [4 integral0^2pi cos u , du + 2 integral0^2pi sin u , du ]
Sabemos que:
integral0^2pi cos u , du = 0 e integral0^2pi sin u , du = 0
Portanto,
= 2 (4 cdot 0 + 2 cdot 0) = 0

Resposta

A integral de superfície vale 0.

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