Calcular a integral de superfície da função sobre a supercície
(Suegestão: A função , sendo , dada por , parametriza a superfície .)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da função sobre a superfície , que é um cilindro definido por e variando de a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de superfícies e calcular a integral usando coordenadas parametrizadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . Ela é um cilindro circular com raio (porque ) que se estende de até . Para parametrizar essa superfície, podemos usar ângulos e coordenadas z, já que é um cilindro.
Passo 3
A sugestão do enunciado é usar a parametrização , onde vai de a (para cobrir todo o círculo) e vai de a (para cobrir a altura do cilindro). Essa parametrização mapeia cada par para um ponto na superfície .
Passo 4
Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Passo 5
O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores tangentes para encontrar o elemento de área :
O módulo desse produto vetorial é:
|fu times fv| = raiz (raiz2 cos u)^2 + (raiz2 sin u)^2 = raiz2 (cos^2 u + sin^2 u) = raiz2
Passo 6
Agora, expressamos a função rho(x, y, z) em termos das parametrizações u e v:
rho(f(u, v)) = 2x + y = 2 (raiz2 cos u) + raiz2 sin u = 2raiz2 cos u + raiz2 sin u
Passo 7
A integral de superfície fica então:
integral duplaK rho(x, y, z) , dS = integral0^2pi integral-1^1 (2raiz2 cos u + raiz2 sin u) cdot raiz2 , dv , du
Passo 8
Simplificamos multiplicando raiz2:
= integral0^2pi integral-1^1 (2raiz2 cos u + raiz2 sin u) raiz2 , dv , du = integral0^2pi integral-1^1 (4 cos u + 2 sin u) , dv , du
Passo 9
Como a função a ser integrada não depende de v, podemos integrar em v facilmente:
= integral0^2pi (4 cos u + 2 sin u) cdot (1 - (-1)) , du = integral0^2pi (4 cos u + 2 sin u) cdot 2 , du = 2 integral0^2pi (4 cos u + 2 sin u) , du
Passo 10
Agora, integramos termo a termo:
= 2 [4 integral0^2pi cos u , du + 2 integral0^2pi sin u , du ]
Sabemos que:
integral0^2pi cos u , du = 0 e integral0^2pi sin u , du = 0