Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+3, \text { para } x \leq 1 \\\\ 6 x-1, \text { para } x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x\) para os quais a função \(f\) não é contínua. A função fornecida é \[f(x)=\begin{cases} 2x+3, & \text{para } x\leq 1,\\[4pt] 6x-1, & \text{para } x>1. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • A função é definida por duas expressões lineares, uma válida para x\leq 1\] e outra para \(x>1.
  • A única possível “troca de regra” ocorre em x=1, portanto esse é o ponto que precisamos investigar com atenção.
  • A pergunta é: para quais x a função não é contínua?]

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Definição de continuidade num ponto a: a função f é contínua em a se e somente se existir o limite \lim_{x\to a} f(x) e ele for igual a f(a). Em símbolos:
f \text{ contínua em } a \iff \lim_{x\to a} f(x)=f(a).í
  • Para que \lim_{x\to a} f(x) exista é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
  • Observação prática: se a função coincide com uma função polinomial (ou reta) numa vizinhança de um ponto, essas funções são contínuas nessa vizinhança; retas são contínuas em todo ponto real. Por isso, fora do ponto onde a definição muda ( x=1), cada ramo é contínuo.
Vou aplicar essas ideias verificando primeiro o ponto potencialmente problemático x=1 e depois comentando os demais x.

Passo 3

Calcular o valor da função em x=1. Como a primeira regra vale para x\leq 1, usamos 2x+3 em x=1:
f(1)=2\cdot 1 + 3 = 5.

Passo 4

Calcular o limite à esquerda em x=1, isto é \lim_{x\to 1^-} f(x).
  • Para x<1 (aproximando por valores menores que 1) a expressão é 2x+3. Como 2x+3 é uma função linear, o limite ao aproximar x por 1 é simplesmente o valor da reta em 1:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (2x+3)=2\cdot 1 + 3 = 5.

Passo 5

Calcular o limite à direita em x=1, isto é \lim_{x\to 1^+} f(x).
  • Para x>1 (aproximando por valores maiores que 1) a expressão é 6x-1. Novamente é uma reta, então o limite ao aproximar x por 1 é o valor em 1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (6x-1)=6\cdot 1 - 1 = 5.

Passo 6

Comparar limites e valor da função em 1.
  • Encontramos
\lim_{x\to 1^-} f(x)=5,\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=5,\qquad f(1)=5.
  • Como os limites laterais são iguais entre si e iguais a f(1), segue que \lim_{x\to 1} f(x) existe e é igual a f(1). Portanto f é contínua em x=1.

Passo 7

Verificar outros pontos x\neq 1.
  • Para x<1 a função é dada por 2x+3, uma reta contínua em todo \mathbb{R}, logo contínua em toda a região x<1.
  • Para x>1 a função é dada por 6x-1, também uma reta contínua em todo \mathbb{R}, logo contínua em toda a região x>1.
  • Como ambas as regiões cobrem todos os x\neq 1 e já mostramos continuidade em x=1, concluímos que a função é contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

\text{Não há pontos de descontinuidade; a função é contínua em todo } \mathbb{R}.ãáçãéí

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