Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
f(x)=\frac{3 x+3}{x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede: determinar todos os valores de x para os quais a função f não é contínua.
  • Dado: a função
f(x)=\frac{3x+3}{x+1}.
Vou listar as informações relevantes que extraí do enunciado: a função é dada por uma fração cujo numerador é 3x+3 e cujo denominador é x+1. Não há mais informações extras no enunciado.

Passo 2

Encontrar o domínio da função (onde a função está definida) — passo importante para estudar continuidade.
  • Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} está definida para todos os x tais que o denominador q(x) seja diferente de zero.
  • Aqui o denominador é x+1. Portanto resolvemos
x+1=0.
  • Da equação acima vem x=-1. Isso significa que a função não está definida em x=-1.
  • Conclusão: o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{-1\},
ou seja, todos os reais exceto x=-1.

Passo 3

Fazer uma simplificação algébrica útil para analisar limites e continuidade.
  • Observe que o numerador 3x+3 pode ser fatorado:
3x+3 = 3(x+1).
  • Substituindo na expressão de f:
f(x)=\frac{3(x+1)}{x+1}.
  • Quando fazemos a simplificação \dfrac{3(x+1)}{x+1}=3, é preciso tomar cuidado: essa igualdade vale apenas para os x em que o cancelamento é permitido, ou seja, para x\neq -1 (pois em x=-1 o denominador seria zero).
  • Portanto, para todo x tal que x\neq -1,
f(x)=3.

Passo 4

Calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de -1.
  • Usando a simplificação válida para x\neq -1, temos que para x próximos de -1 (mas diferentes de -1) f(x)=3.
  • Assim
\lim_{x\to -1} f(x)=\lim_{x\to -1} 3 = 3.
  • Comentário didático: quando a função é igual a uma constante em torno de um ponto (exceto possivelmente no ponto), o limite ao se aproximar desse ponto é essa constante.

Passo 5

Verificar o valor da função em x=-1.
  • Pelo Passo 2, o denominador é zero em x=-1, logo f(-1) não está definido. Em símbolos:
f(-1)\\ \text{não existe (indefinida)}.ã

Passo 6

Relembrar a definição de continuidade em um ponto e aplicar a x=-1.
  • Definição (em palavras simples): uma função f é contínua em x=a se, simultaneamente,
    1. f(a) está definido;
    2. \lim_{x\to a} f(x) existe;
    3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Aplicando em a=-1:
    1. f(-1) está definido? Não — falha já no item 1.
    2. \lim_{x\to -1} f(x) existe? Sim — do Passo 4 o limite é 3.
    3. Mesmo que o limite exista, a igualdade \lim_{x\to -1} f(x)=f(-1) não pode ser verificada porque f(-1) não existe.
  • Conclusão: a função não é contínua em x=-1 (falta o valor da função no ponto). Esse tipo de descontinuidade, em que o limite existe mas a função não está definida no ponto, chama-se descontinuidade removível.

Passo 7

Verificar continuidade em outros pontos x\neq -1.
  • Para qualquer a\neq -1, em uma vizinhança de a a expressão pode ser simplificada para f(x)=3. Uma função constante é contínua em todo ponto do seu domínio.
  • Alternativamente: funções racionais são contínuas em todo ponto em que o denominador é diferente de zero.
  • Portanto f é contínua para todo x em \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 8

Resumo da classificação e resposta prática para a prova (como aplicar rápido na hora):
  • Método rápido: identifique zeros do denominador; se o ponto excluído permitir cancelamento no numerador (ou seja, o limite existir), a descontinuidade é removível; se o limite não existir (p.ex. comportamento infinito), é descontinuidade essencial (ou de 2ª espécie).
  • Aqui: denominador zero em x=-1; cancela com o numerador; limite finito igual a 3; função indefinida no ponto ⇒ descontinuidade removível em x=-1. Em todos os outros x a função é contínua.

Resposta

x=-1

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