Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede: determinar todos os valores de
para os quais a função não é contínua. - Dado: a função
Vou listar as informações relevantes que extraí do enunciado: a função é dada por uma fração cujo numerador é
e cujo denominador é
. Não há mais informações extras no enunciado.
Passo 2
Encontrar o domínio da função (onde a função está definida) — passo importante para estudar continuidade.
- Uma função racional
está definida para todos os tais que o denominador seja diferente de zero. - Aqui o denominador é
. Portanto resolvemos
- Da equação acima vem
. Isso significa que a função não está definida em . - Conclusão: o domínio de
é
ou seja, todos os reais exceto
.
Passo 3
Fazer uma simplificação algébrica útil para analisar limites e continuidade.
- Observe que o numerador
pode ser fatorado:
- Substituindo na expressão de
:
- Quando fazemos a simplificação
, é preciso tomar cuidado: essa igualdade vale apenas para os em que o cancelamento é permitido, ou seja, para (pois em o denominador seria zero). - Portanto, para todo
tal que ,
Passo 4
Calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
- Usando a simplificação válida para
, temos que para próximos de (mas diferentes de ) . - Assim
- Comentário didático: quando a função é igual a uma constante em torno de um ponto (exceto possivelmente no ponto), o limite ao se aproximar desse ponto é essa constante.
Passo 5
Verificar o valor da função em
.
- Pelo Passo 2, o denominador é zero em
, logo não está definido. Em símbolos:
Passo 6
Relembrar a definição de continuidade em um ponto e aplicar a
.
- Definição (em palavras simples): uma função
é contínua em se, simultaneamente, -
está definido; -
existe; -
.
-
- Aplicando em
: -
está definido? Não — falha já no item 1. -
existe? Sim — do Passo 4 o limite é . - Mesmo que o limite exista, a igualdade
não pode ser verificada porque não existe.
-
- Conclusão: a função não é contínua em
(falta o valor da função no ponto). Esse tipo de descontinuidade, em que o limite existe mas a função não está definida no ponto, chama-se descontinuidade removível.
Passo 7
Verificar continuidade em outros pontos
.
- Para qualquer
, em uma vizinhança de a expressão pode ser simplificada para . Uma função constante é contínua em todo ponto do seu domínio. - Alternativamente: funções racionais são contínuas em todo ponto em que o denominador é diferente de zero.
- Portanto
é contínua para todo em .
Passo 8
Resumo da classificação e resposta prática para a prova (como aplicar rápido na hora):
- Método rápido: identifique zeros do denominador; se o ponto excluído permitir cancelamento no numerador (ou seja, o limite existir), a descontinuidade é removível; se o limite não existir (p.ex. comportamento infinito), é descontinuidade essencial (ou de 2ª espécie).
- Aqui: denominador zero em
; cancela com o numerador; limite finito igual a ; função indefinida no ponto ⇒ descontinuidade removível em . Em todos os outros a função é contínua.