Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar todos os valores de
para os quais a função não é contínua”, onde a função é
Informações relevantes dadas:
- A função é uma razão de polinômios: o numerador é
e o denominador é . - Para uma função racional, os pontos potencialmente problemáticos são os pontos onde o denominador é zero (esses pontos não pertencem ao domínio).
Passo 2
Lembrete sobre continuidade (explicação didática, passo a passo):
- Uma função
é contínua em um ponto se os três itens seguintes ocorrem simultaneamente: -
está definido; -
existe; -
.
-
- Polinômios são contínuos em todo
. - Uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em todo ponto de seu domínio, ou seja, em todo
tal que o denominador é diferente de zero. Logo, as descontinuidades só podem ocorrer onde o denominador é zero.
Passo 3
Determinar onde o denominador é zero (isto dá os pontos fora do domínio). Tomamos
Fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números que multiplicados deem
e somados dêem
. Esses números são
e
. Assim
Portanto as soluções de
são
Conclusão parcial: o domínio de
é
. Então só podem existir descontinuidades em
e em
.
Passo 4
Verificar se essas descontinuidades são removíveis ou não. Para isso, vemos se o numerador também se anula nos mesmos pontos (se houver cancelamento de fatores, pode haver um “buraco” removível); caso contrário, a descontinuidade é do tipo essencial (vertical, geralmente assimptótica).
Primeiro fatoramos o numerador:
Passo 5
Avaliar o numerador nos pontos problemáticos:
Como o numerador não zera nem em
nem em
, não há cancelamento de fator com o denominador nesses pontos. Portanto as descontinuidades em
e
não são removíveis (são descontinuidades do tipo essencial/vertical).
Passo 6
Explanação final e interpretação prática (como usar na prova):
- Regra prática: para uma função racional
, calcule as raízes de . Esses são os candidatos a descontinuidade. Se alguma dessas raízes também for raiz de com pelo menos a mesma multiplicidade, então há cancelamento e possivelmente uma descontinuidade removível; caso contrário, é uma descontinuidade não removível (vertical). - Aqui
tem raízes e , e não se anula nessas raízes; logo ambas são descontinuidades não removíveis.