Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-x-2}

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar todos os valores de x para os quais a função não é contínua”, onde a função é
f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-x-2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é uma razão de polinômios: o numerador é x^{2}-2x+1 e o denominador é x^{2}-x-2.
  • Para uma função racional, os pontos potencialmente problemáticos são os pontos onde o denominador é zero (esses pontos não pertencem ao domínio).

Passo 2

Lembrete sobre continuidade (explicação didática, passo a passo):
  • Uma função f é contínua em um ponto a se os três itens seguintes ocorrem simultaneamente:
    1. f(a) está definido;
    2. \lim_{x\to a} f(x) existe;
    3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}.
  • Uma função racional (quociente de polinômios) é contínua em todo ponto de seu domínio, ou seja, em todo x tal que o denominador é diferente de zero. Logo, as descontinuidades só podem ocorrer onde o denominador é zero.

Passo 3

Determinar onde o denominador é zero (isto dá os pontos fora do domínio). Tomamos
x^{2}-x-2=0.
Fatoramos o polinômio quadrático. Procuramos dois números que multiplicados deem -2 e somados dêem -1. Esses números são -2 e +1. Assim
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto as soluções de x^{2}-x-2=0 são
x=2\quad\text{e}\quad x=-1.
Conclusão parcial: o domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{2,-1\}. Então só podem existir descontinuidades em x=2 e em x=-1.

Passo 4

Verificar se essas descontinuidades são removíveis ou não. Para isso, vemos se o numerador também se anula nos mesmos pontos (se houver cancelamento de fatores, pode haver um “buraco” removível); caso contrário, a descontinuidade é do tipo essencial (vertical, geralmente assimptótica).
Primeiro fatoramos o numerador:
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.

Passo 5

Avaliar o numerador nos pontos problemáticos:
\text{em }x=2:\quad (2-1)^{2}=1\neq0,
\text{em }x=-1:\quad (-1-1)^{2}=(-2)^{2}=4\neq0.
Como o numerador não zera nem em x=2 nem em x=-1, não há cancelamento de fator com o denominador nesses pontos. Portanto as descontinuidades em x=2 e x=-1 não são removíveis (são descontinuidades do tipo essencial/vertical).

Passo 6

Explanação final e interpretação prática (como usar na prova):
  • Regra prática: para uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)}, calcule as raízes de Q(x). Esses são os candidatos a descontinuidade. Se alguma dessas raízes também for raiz de P(x) com pelo menos a mesma multiplicidade, então há cancelamento e possivelmente uma descontinuidade removível; caso contrário, é uma descontinuidade não removível (vertical).
  • Aqui Q(x)=(x-2)(x+1) tem raízes 2 e -1, e P(x)=(x-1)^2 não se anula nessas raízes; logo ambas são descontinuidades não removíveis.

Resposta

x=2
x=-1

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