(a) Determine todos os valores de
para os quais o problema com condições de fronteira
possui solução não nula.
(b) Determine também todas essas soluções.
(b) Determine também todas essas soluções.
Passo 1
O problema dado é
onde
é o parâmetro (possivelmente um autovalor) e
é a função desconhecida de
.
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar todos os valores de
para os quais existe solução não nula (ou seja, autovalores). - For cada um desses valores, determinar todas as soluções não nulas
que satisfazem a equação e as condições de fronteira.
Informações relevantes dadas:
- A equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- As condições de fronteira são do tipo Neumann: derivada em
e em igual a zero.
Passo 2
Estratégia: resolver a equação diferencial geral usando a equação característica e impor as condições de fronteira para obter restrições sobre as constantes da solução. A equação característica é
As raízes
dependem do sinal de
. Vamos tratar separadamente os três casos:
,
e
. Em cada caso escrevo a solução geral, calculo
e aplico
. Sempre que eu utilizar uma fórmula, explico o que cada símbolo significa:
é a raiz da característica,
serão escolhas convenientes para
ou
, e
são constantes arbitrárias a determinar pelas CC.
Passo 3
Suponha
e defina
. As raízes da característica são
. A solução geral da EDO é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. A derivada é
Aplicando a condição
obtemos
Substituindo
na solução temos
Agora a outra condição
. A derivada é
, então
Como
, tem-se
e
. Portanto a única possibilidade para zerar o produto é
. Assim a única solução que satisfaz ambas as CC é a solução trivial
. Conclusão: para
não existem soluções não nulas.
Passo 4
Para
a equação fica
Integrando duas vezes obtemos a solução geral linear
onde
são constantes reais. A derivada é
. Impondo as condições de fronteira:
logo
. Portanto
é constante. Qualquer constante
(em particular
) fornece uma solução não nula. Conclusão:
permite soluções não nulas — as funções constantes.
Passo 5
Agora suponha
. Escreva
com
e defina
. A equação característica dá
com raízes
. A solução geral real é
onde
são constantes reais. A derivada é
Impondo
obtemos
pois
. Assim
. Aplicando
temos
Para obter uma solução não nula queremos
, então precisamos de
. As soluções de
são
Como
tomamos
. Portanto
, isto é
. Lembrando
, obtemos
E as correspondentes soluções (com
constante arbitrária) são
Observação: o caso
daria
e corresponde a
, já tratado antes (função constante).
Passo 6
Reunindo os resultados:
- Não há autovalores positivos (
não produz solução não nula). -
é um autovalor, com espaço de soluções formadas por funções constantes const. - Para cada
( ) temos o autovalor
com espaço de soluções geradas por
ou, em geral, por múltiplos escalares
com
. Essas funções satisfazem
porque
. As soluções não nulas são apenas essas (até multiplicação por constante).