(a) Determine todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} para os quais o problema com condições de fronteira
X^{\prime \prime}-\lambda X=0, \quad X^{\prime}(0)=X^{\prime}(1)=0
possui solução não nula.
(b) Determine também todas essas soluções.

Passo 1

O problema dado é
X''-\lambda X=0,\qquad X'(0)=X'(1)=0,
onde \lambda\in\mathbb{R} é o parâmetro (possivelmente um autovalor) e X é a função desconhecida de x\in[0,1].
O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar todos os valores de \lambda para os quais existe solução não nula (ou seja, autovalores).
  2. For cada um desses valores, determinar todas as soluções não nulas X(x) que satisfazem a equação e as condições de fronteira.
Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • As condições de fronteira são do tipo Neumann: derivada em 0 e em 1 igual a zero.

Passo 2

Estratégia: resolver a equação diferencial geral usando a equação característica e impor as condições de fronteira para obter restrições sobre as constantes da solução. A equação característica é
r^{2}-\lambda=0.
As raízes r dependem do sinal de \lambda. Vamos tratar separadamente os três casos: \lambda>0, \lambda=0 e \lambda<0. Em cada caso escrevo a solução geral, calculo X'(x) e aplico X'(0)=X'(1)=0. Sempre que eu utilizar uma fórmula, explico o que cada símbolo significa: r é a raiz da característica, \alpha,\beta serão escolhas convenientes para \sqrt{\lambda} ou \sqrt{-\lambda}, e A,B,C,D são constantes arbitrárias a determinar pelas CC.

Passo 3

Suponha \lambda>0 e defina \alpha=\sqrt{\lambda}>0. As raízes da característica são r=\pm\alpha. A solução geral da EDO é
X(x)=A e^{\alpha x}+B e^{-\alpha x},
onde A e B são constantes reais arbitrárias. A derivada é
X'(x)=A\alpha e^{\alpha x}-B\alpha e^{-\alpha x}.
Aplicando a condição X'(0)=0 obtemos
X'(0)=A\alpha-B\alpha=0 \quad\Rightarrow\quad A=B.
Substituindo A=B na solução temos
X(x)=A\bigl(e^{\alpha x}+e^{-\alpha x}\bigr)=2A\operatorname{cosh}(\alpha x).
Agora a outra condição X'(1)=0. A derivada é X'(x)=2A\alpha\operatorname{sinh}(\alpha x), então
X'(1)=2A\alpha\operatorname{sinh}(\alpha)=0.
Como \alpha>0, tem-se \alpha\neq0 e \operatorname{sinh}(\alpha)\neq0. Portanto a única possibilidade para zerar o produto é A=0. Assim a única solução que satisfaz ambas as CC é a solução trivial X\equiv0. Conclusão: para \lambda>0 não existem soluções não nulas.

Passo 4

Para \lambda=0 a equação fica
X''=0.
Integrando duas vezes obtemos a solução geral linear
X(x)=A x + B,
onde A,B são constantes reais. A derivada é X'(x)=A. Impondo as condições de fronteira:
X'(0)=A=0,\qquad X'(1)=A=0,
logo A=0. Portanto X(x)=B é constante. Qualquer constante B (em particular B\neq0) fornece uma solução não nula. Conclusão: \lambda=0 permite soluções não nulas — as funções constantes.

Passo 5

Agora suponha \lambda<0. Escreva \lambda=-\mu com \mu>0 e defina \beta=\sqrt{\mu}>0. A equação característica dá r^{2}+\beta^{2}=0 com raízes r=\pm i\beta. A solução geral real é
X(x)=C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x),
onde C,D são constantes reais. A derivada é
X'(x)=-C\beta\sin(\beta x)+D\beta\cos(\beta x).
Impondo X'(0)=0 obtemos
X'(0)=D\beta=0 \quad\Rightarrow\quad D=0,
pois \beta>0. Assim X(x)=C\cos(\beta x). Aplicando X'(1)=0 temos
X'(1)=-C\beta\sin(\beta)=0.
Para obter uma solução não nula queremos C\neq0, então precisamos de \sin(\beta)=0. As soluções de \sin(\beta)=0 são
\beta=n\pi,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Como \beta>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Portanto \beta=n\pi, isto é \mu=\beta^{2}=n^{2}\pi^{2}. Lembrando \lambda=-\mu, obtemos
\lambda=-n^{2}\pi^{2},\qquad n=1,2,3,\dots
E as correspondentes soluções (com C constante arbitrária) são
X(x)=C\cos(n\pi x).
Observação: o caso n=0 daria \beta=0 e corresponde a \lambda=0, já tratado antes (função constante).

Passo 6

Reunindo os resultados:
  • Não há autovalores positivos ( \lambda>0 não produz solução não nula).
  • \lambda=0 é um autovalor, com espaço de soluções formadas por funções constantes X(x)= const.
  • Para cada n\in\mathbb{N} ( n\ge1) temos o autovalor
\lambda_{n}=-n^{2}\pi^{2}
com espaço de soluções geradas por
X_{n}(x)=\cos(n\pi x),
ou, em geral, por múltiplos escalares C\cos(n\pi x) com C\neq0. Essas funções satisfazem X_n'(0)=X_n'(1)=0 porque \sin(n\pi\cdot0)=\sin(n\pi\cdot1)=0. As soluções não nulas são apenas essas (até multiplicação por constante).

Resposta

\lambda=0 com soluções X(x)=\text{constante}.
\lambda=-n^{2}\pi^{2} para n=1,2,3,\dots com soluções X(x)=C\cos(n\pi x), C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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