O problema a seguir
\begin{array}{ll} \text { ED } & \partial_{t} u=\partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<1, t>0 ; \\\ \text { CF } & \partial_{x} u(0, t)=0 \quad \partial_{x} u(1, t)=0, \quad t \geq 0 ; \\\ \text { CI } & u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq 1 . \end{array}
descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L=1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.
(a) Se u(x, t)=X(x) T(t) for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima, qual é o problema de fronteira que a função X deve satisfazer?
(b) Utilize o exercício anterior para encontrar soluções básicas que permitiriam resolver esse problema usando o método de separação de variáveis.
(c) Escreva a solução correspondente à temperatura inicial
f(x)=1-2 \cos (3 \pi x)+23 \cos (5 \pi x)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A equação de calor unidimensional
\partial_{t}u=\partial_{x}^{2}u,\qquad 0<x<1,\\ t>0.
  • Condições de contorno (extremidades isoladas)
\partial_{x}u(0,t)=0,\qquad \partial_{x}u(1,t)=0,\qquad t\ge0.
  • Condição inicial
u(x,0)=f(x),\qquad 0\le x\le1.
O problema pede três coisas:
(a) Se procurarmos uma solução fatorada u(x,t)=X(x)T(t), qual problema de fronteira a função X deve satisfazer?
(b) Usar o resultado anterior para encontrar as soluções básicas (modos próprios) que permitem resolver o problema por separação de variáveis.
(c) Escrever a solução correspondente à condição inicial
f(x)=1-2\cos(3\pi x)+23\cos(5\pi x).

Passo 2

Aplicar o método de separação de variáveis: suponha uma solução fatorada
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE:
\partial_t u = X(x)\,T'(t),\qquad \partial_x^2 u = X''(x)\,T(t).
Igualando as duas expressões:
X(x)\,T'(t)=X''(x)\,T(t).
Dividindo por X(x)T(t) (assumindo X e T não nulas identicamente):
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x, portanto ambos devem ser igual a uma constante que chamaremos de -\lambda:
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
A escolha do sinal negativo -\lambda é conveniente porque, para o problema do calor, esperamos modos temporais decrescentes (dissipação), o que corresponderá a \lambda\ge0. Com isso obtemos dois EDOs acoplados:
T'(t)=-\lambda\,T(t), \qquad X''(x)+\lambda\,X(x)=0.

Passo 3

As condições de contorno impõem que a parte espacial X satisfaça as mesmas condições de derivada:
X'(0)=0,\qquad X'(1)=0.
Portanto o problema de contorno para X (resposta de (a)) é:
\text{Encontrar }X\not\equiv0\text{ tal que } \begin{cases} X''(x)+\lambda X(x)=0,\quad 0<x<1,\\[4pt] X'(0)=0,\\[4pt] X'(1)=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o problema de autovalores para X. Analisar os casos \lambda<0,\\ \lambda=0,\\ \lambda>0.
  1. Caso \lambda<0. Escreva \lambda=-\kappa^2 com \kappa>0. Então
X''(x)-\kappa^2 X(x)=0,
com solução geral
X(x)=A e^{\kappa x}+B e^{-\kappa x}.
A derivada é
X'(x)=A\kappa e^{\kappa x}-B\kappa e^{-\kappa x}.
Aplicando X'(0)=0 A\kappa - B\kappa=0\Rightarrow A=B. Então
X(x)=A(e^{\kappa x}+e^{-\kappa x})=2A\operatorname{cosh}(\kappa x).
Aplicando X'(1)=0 2A\kappa\operatorname{sinh}(\kappa)=0. Como \kappa>0 temos \operatorname{sinh}(\kappa)\neq0, logo A=0. Isso leva à solução trivial X\equiv0. Conclusão: não há autovalores negativos.
  1. Caso \lambda=0. A equação é X''=0, solução
X(x)=ax+b.
A condição X'(0)=a=0 implica X(x)=b constante. X'(1)=0 já está satisfeita. Assim existe uma solução não-trivial constante; portanto \lambda=0 é um autovalor, com autovetor X_0(x)=1 (modo constante).
  1. Caso \lambda>0. Escreva \lambda=\mu^2 com \mu>0. Então
X''(x)+\mu^2 X(x)=0,
solução geral
X(x)=C\cos(\mu x)+D\sin(\mu x).
A condição X'(0)=0
X'(x)=-C\mu\sin(\mu x)+D\mu\cos(\mu x)\Rightarrow X'(0)=D\mu=0,
logo D=0. Então X(x)=C\cos(\mu x). A condição X'(1)=0 torna-se
X'(1)=-C\mu\sin(\mu)=0.
Para existência de C\neq0 deve ocorrer \sin(\mu)=0, ou seja \mu=n\pi para algum n\in\mathbb{Z}. Como \mu>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Assim os autovalores são
\lambda_n=(n\pi)^2,\qquad n=1,2,3,\dots,
com autovetores (modos espaciais)
X_n(x)=\cos(n\pi x).
Observe que o caso n=0 corresponde a \lambda_0=0 e X_0(x)=\cos(0)=1, já obtido antes.

Passo 5

Resolver a parte temporal T'(t)=-\lambda T(t). Para cada autovalor \lambda_n obtemos
T_n(t)=e^{-\lambda_n t}=e^{-(n\pi)^2 t},
com a observação de que para \lambda_0=0 temos T_0(t)=1 (modo constante no tempo). Portanto os modos separados (resposta de (b)) são
u_n(x,t)=\cos(n\pi x)\,e^{-(n\pi)^2 t},\qquad n=0,1,2,\dots,
com \cos(0\cdot\pi x)=1 para n=0.

Passo 6

Usar superposição linear (a equação é linear) para escrever a solução geral como uma série de Fourier no conjunto ortogonal \{\cos(n\pi x)\}_{n=0}^\infty:
u(x,t)=A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n e^{-(n\pi)^2 t}\cos(n\pi x).
As constantes A_n são determinadas pela condição inicial u(x,0)=f(x), isto é
f(x)=A_0+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\pi x).
As fórmulas para os coeficientes vêm da ortogonalidade:
\int_{0}^{1}\cos(n\pi x)\cos(m\pi x)\,dx= \begin{cases} 1,& n=m=0,\\[4pt] \tfrac{1}{2},& n=m\ge1,\\[4pt] 0,& n\ne m. \end{cases}
Daí
A_0=\int_0^1 f(x)\,dx, \qquad A_n=2\int_0^1 f(x)\cos(n\pi x)\,dx\quad (n\ge1).]

Passo 7

Aplicar isso ao f(x) dado:
f(x)=1-2\cos(3\pi x)+23\cos(5\pi x).
Este f já está escrito na base \{\cos(n\pi x)\}, portanto os coeficientes são imediatamente
A_0=1,\qquad A_3=-2,\qquad A_5=23,
e A_n=0 para todo n diferente de 0,3,5. (Ou seja, peguei esses números diretamente do enunciado da condição inicial.)
Substituindo na série da solução obtemos:
u(x,t)=1 -2\,e^{-(3\pi)^2 t}\cos(3\pi x) +23\,e^{-(5\pi)^2 t}\cos(5\pi x).
É costume simplificar (3\pi)^2=9\pi^2 e (5\pi)^2=25\pi^2, então
u(x,t)=1 -2\,e^{-9\pi^2 t}\cos(3\pi x) +23\,e^{-25\pi^2 t}\cos(5\pi x).

Passo 8

Breve interpretação física (rapidinha e motivadora): o modo constante 1 permanece para todo o tempo (energia média preservada porque as extremidades são isoladas) enquanto os modos \cos(3\pi x) e \cos(5\pi x) decaem exponencialmente com razões 9\pi^2 e 25\pi^2. Com o passar do tempo a solução tende para a média espacial 1. Continua firme — você já tem a solução explícita que pode usar na prova!

Resposta

(a) \displaystyle X''(x)+\lambda X(x)=0,\quad X'(0)=0,\\ X'(1)=0.
(b) \displaystyle \lambda_n=(n\pi)^2,\\ X_n(x)=\cos(n\pi x),\\ T_n(t)=e^{-(n\pi)^2 t},\\ n=0,1,2,\dots
(c) \displaystyle u(x,t)=1-2\,e^{-9\pi^2 t}\cos(3\pi x)+23\,e^{-25\pi^2 t}\cos(5\pi x)

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