\begin{array}{ll} \text { ED } & \partial_{t} u=\partial_{x}^{2} u, \quad 0<x<1, t>0 ; \\\ \text { CF } & \partial_{x} u(0, t)=0 \quad \partial_{x} u(1, t)=0, \quad t \geq 0 ; \\\ \text { CI } & u(x, 0)=f(x), \quad 0 \leq x \leq 1 . \end{array}
descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L=1 cujas extremidades também foram isoladas termicamente.
(a) Se u(x, t)=X(x) T(t) for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima, qual é o problema de fronteira que a função X deve satisfazer?
(b) Utilize o exercício anterior para encontrar soluções básicas que permitiriam resolver esse problema usando o método de separação de variáveis.
(c) Escreva a solução correspondente à temperatura inicial
O problema pede três coisas:
(a) Se procurarmos uma solução fatorada u(x,t)=X(x)T(t), qual problema de fronteira a função X deve satisfazer?
(b) Usar o resultado anterior para encontrar as soluções básicas (modos próprios) que permitem resolver o problema por separação de variáveis.
(c) Escrever a solução correspondente à condição inicial
f(x)=1-2\cos(3\pi x)+23\cos(5\pi x).
Passo 2
Aplicar o método de separação de variáveis: suponha uma solução fatorada
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE:
\partial_t u = X(x)\,T'(t),\qquad \partial_x^2 u = X''(x)\,T(t).
Igualando as duas expressões:
X(x)\,T'(t)=X''(x)\,T(t).
Dividindo por X(x)T(t) (assumindo X e T não nulas identicamente):
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
O lado esquerdo depende só de t e o direito só de x, portanto ambos devem ser igual a uma constante que chamaremos de -\lambda:
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
A escolha do sinal negativo -\lambda é conveniente porque, para o problema do calor, esperamos modos temporais decrescentes (dissipação), o que corresponderá a \lambda\ge0. Com isso obtemos dois EDOs acoplados:
Aplicando X'(1)=0 dá 2A\kappa\operatorname{sinh}(\kappa)=0. Como \kappa>0 temos \operatorname{sinh}(\kappa)\neq0, logo A=0. Isso leva à solução trivial X\equiv0. Conclusão: não há autovalores negativos.
Caso \lambda=0. A equação é X''=0, solução
X(x)=ax+b.
A condição X'(0)=a=0 implica X(x)=b constante. X'(1)=0 já está satisfeita. Assim existe uma solução não-trivial constante; portanto \lambda=0 é um autovalor, com autovetor X_0(x)=1 (modo constante).
Caso \lambda>0. Escreva \lambda=\mu^2 com \mu>0. Então
logo D=0. Então X(x)=C\cos(\mu x). A condição X'(1)=0 torna-se
X'(1)=-C\mu\sin(\mu)=0.
Para existência de C\neq0 deve ocorrer \sin(\mu)=0, ou seja \mu=n\pi para algum n\in\mathbb{Z}. Como \mu>0 tomamos n=1,2,3,\dots. Assim os autovalores são
\lambda_n=(n\pi)^2,\qquad n=1,2,3,\dots,
com autovetores (modos espaciais)
X_n(x)=\cos(n\pi x).
Observe que o caso n=0 corresponde a \lambda_0=0 e X_0(x)=\cos(0)=1, já obtido antes.
Passo 5
Resolver a parte temporal T'(t)=-\lambda T(t). Para cada autovalor \lambda_n obtemos
T_n(t)=e^{-\lambda_n t}=e^{-(n\pi)^2 t},
com a observação de que para \lambda_0=0 temos T_0(t)=1 (modo constante no tempo). Portanto os modos separados (resposta de (b)) são
Usar superposição linear (a equação é linear) para escrever a solução geral como uma série de Fourier no conjunto ortogonal \{\cos(n\pi x)\}_{n=0}^\infty:
Breve interpretação física (rapidinha e motivadora): o modo constante 1 permanece para todo o tempo (energia média preservada porque as extremidades são isoladas) enquanto os modos \cos(3\pi x) e \cos(5\pi x) decaem exponencialmente com razões 9\pi^2 e 25\pi^2. Com o passar do tempo a solução tende para a média espacial 1. Continua firme — você já tem a solução explícita que pode usar na prova!