Considere o sistema ( * ) A X=B, com A uma matriz m \times n e B uma matriz m \times 1.
a) Mostre que: se Y_{1} e Y_{2} são soluções do sistema homogêneo associado A X=\mathbf{0} e a e b são números reais então Z=a Y_{1}+b Y_{2} também é solução do homogêneo associado.
b) Mostre que: Se X_{1} e X_{2} são soluções de ( * ) então Y=X_{2}-X_{1} é solução do sistema homogêneo associado A X=\mathbf{0}.
c) Suponha que X_{0} é uma solução particular de () e mostre que qualquer solucão X de () é da forma X=X_{0}+Y, \operatorname{com} Y solução do homogêneo associado.
OBS: Na verdade pode-se provar que para todo sistema homogêneo ( * * ) A X=\mathbf{0}, \operatorname{com} A uma matriz m \times n, existem r soluções não nulas Y_{1}, \cdots, Y_{r}, 0 \leq r \leq n, de ( * * ) tal que toda solução Y de ( * * ) se escreve na forma Y=a_{1} Y_{1}+a_{2} Y_{2}+\cdots+a_{r} Y_{r}, \operatorname{com} a_{1}, \cdots, a_{r} números reais ( r=0 ocorre quando ( * * ) tem a solução nula como única solução) . Portanto, por c), se o sistema ( * ) tem uma solução X_{0} então toda solução X de () é do tipo X=X_{0}+a_{1} Y_{1}+a_{2} Y_{2}+\cdots+a_{r} Y_{r}, com a_{1}, \cdots, a_{r} números reais. A solução X_{0} é comumente chamada de solução inicial (ou particular) de ( * ) e o conjunto \left\{Y_{1}, \cdots, Y_{r}\right\} é chamado de um conjunto de geradores do sistema () (ou simplesmente de geradores de ()) Observe ainda que X_{0} é a única solução de () somente quando r=0.
d) Para se convencer do que a observação acima afirma, encontre para cada um dos sistemas do exercício 7 ., um conjunto de geradores do sistema e uma solução particular (quando existir).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear (*) A X=B, onde A é uma matriz m\times n e B é uma matriz m\times 1. As perguntas são:
  • (a) Provar que, se Y_{1} e Y_{2} são soluções do sistema homogêneo associado A X=\mathbf{0} e a,b\in\mathbb{R}, então Z=aY_{1}+bY_{2} também é solução do homogêneo.
  • (b) Provar que, se X_{1} e X_{2} são soluções de (*), então Y=X_{2}-X_{1} é solução do homogêneo A X=\mathbf{0}.
  • (c) Supondo que X_{0} é uma solução particular de (*), mostrar que qualquer solução X de (*) tem a forma X=X_{0}+Y com Y solução do homogêneo.
  • (d) Pedir para, para cada sistema do “exercício 7”, encontrar um conjunto de geradores do sistema homogêneo e uma solução particular (quando existir).
Informações relevantes dadas: a definição dos sistemas (*) e do homogêneo associado A X=\mathbf{0}; não há mais dados numéricos. Observação importante: o enunciado refere-se ao “exercício 7” para a letra (d), mas esse exercício 7 não foi fornecido aqui.

Passo 2

Antes de provar as afirmações, vamos lembrar e explicar a propriedade central que vamos usar: linearidade da multiplicação matriz-vetor.
Definição e propriedade básica (explicada passo a passo).
  • Seja A=(a_{ij}) uma matriz m\times n. Para um vetor coluna X=(x_{1},\dots,x_{n})^{T} definimos o produto AX como o vetor coluna de dimensão m cujas entradas são
(AX)_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j},\qquad i=1,\dots,m.
  • Desta definição segue duas propriedades simples e fundamentais (linearidade):
    1. Para quaisquer vetores U,V\in\mathbb{R}^{n},
    A(U+V)=AU+AV.
    1. Para qualquer escalar c\in\mathbb{R} e vetor U\in\mathbb{R}^{n},
    A(cU)=c(AU).
  • Prova curta dessas propriedades (entrada a entrada): seja W=U+V. Então, para cada i,
(AW)_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}(u_{j}+v_{j})=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}u_{j}+\sum_{j=1}^{n} a_{ij}v_{j}=(AU)_{i}+(AV)_{i},
logo A(U+V)=AU+AV. A propriedade com escalar é análoga:
(A(cU))_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}(c\,u_{j})=c\sum_{j=1}^{n} a_{ij}u_{j}=c\,(AU)_{i},
logo A(cU)=c(AU). Essas relações valem para todas as entradas, portanto para os vetores inteiros.
Comentário didático: essa linearidade é exatamente o que faz o espaço de soluções do homogêneo ser um espaço vetorial (fechado sob soma e multiplicação por escalar). Vamos usar isso explicitamente nas próximas provas.

Passo 3

Provar que se Y_{1} e Y_{2} resolvem A X=\mathbf{0} e a,b\in\mathbb{R} então Z=aY_{1}+bY_{2} também resolve.
  • Hipóteses: A Y_{1}=\mathbf{0} e A Y_{2}=\mathbf{0}.
  • Queremos mostrar: A Z=\mathbf{0} para Z=aY_{1}+bY_{2}.
Usando a linearidade do produto matriz-vetor (mostrada no passo 2), temos
A Z = A(aY_{1}+bY_{2}) = a\,A Y_{1} + b\,A Y_{2}.
Pelas hipóteses A Y_{1}=\mathbf{0} e A Y_{2}=\mathbf{0}, obtemos
a\,A Y_{1} + b\,A Y_{2} = a\mathbf{0}+b\mathbf{0}=\mathbf{0}.
Portanto A Z=\mathbf{0}, ou seja, Z é solução do sistema homogêneo.
Explicação prática para a prova na prova (dica de exame): basta escrever explicitamente que se cada Y_{k} torna todas as somas \sum_j a_{ij}y_{j}^{(k)} iguais a zero para todo i, então combinações lineares também produzem soma zero em cada linha, porque a combinação linear “passa para fora” do somatório (essas são as igualdades usadas acima).

Passo 4

Provar que, se X_{1} e X_{2} são soluções de (*), então Y=X_{2}-X_{1} é solução do homogêneo A X=\mathbf{0}.
  • Hipóteses: A X_{1}=B e A X_{2}=B.
  • Calcular:
A(X_{2}-X_{1}) = A X_{2} - A X_{1}
pela linearidade (soma e escalar -1 são cobertos pelas propriedades do passo 2). Substituindo as hipóteses:
A(X_{2}-X_{1}) = B - B = \mathbf{0}.
Portanto Y=X_{2}-X_{1} satisfaz A Y=\mathbf{0}, isto é, é solução do sistema homogêneo.
Comentário: geometricamente/intuïtivamente, todas as soluções de (*) formam uma “folha” paralela ao subespaço das soluções homogêneas; a diferença entre duas soluções cai exatamente nessa subspace.

Passo 5

Mostrar que, se X_{0} é uma solução particular de (*), então qualquer solução X de (*) é da forma X=X_{0}+Y com Y solução do homogêneo e, recíprocamente, qualquer vetor dessa forma é solução de (*).
Primeira direção (todo X solução é X_{0}+Y com Y homogêneo):
  • Se X é solução de (*) então A X=B. Como A X_{0}=B por hipótese, subtraindo as duas igualdades obtemos
A(X-X_{0}) = A X - A X_{0} = B - B = \mathbf{0}.
Logo Y:=X-X_{0} satisfaz A Y=\mathbf{0}. Rearranjando, X=X_{0}+Y com Y solução do homogêneo.
Segunda direção (todo X=X_{0}+Y com A Y=\mathbf{0} é solução de (*)):
  • Seja Y tal que A Y=\mathbf{0}. Então, usando linearidade,
A(X_{0}+Y)=A X_{0}+A Y = B + \mathbf{0} = B.
Portanto X_{0}+Y é solução de (*).
Conclusão: o conjunto de todas as soluções de (*) é exatamente a classe afim X_{0}+\ker(A), isto é, a solução particular mais o espaço (subespaço) das soluções do homogêneo. Em particular, se o homogêneo tem somente a solução trivial \mathbf{0} (ou seja, \ker(A)=\{\mathbf{0}\}), então X_{0} é a única solução de (*).
Complemento didático (ligando com a observação do enunciado): se o espaço das soluções do homogêneo tem dimensão r e é gerado pelos vetores Y_{1},\dots,Y_{r}, então todas as soluções de (*) escrevem-se como
X = X_{0} + a_{1}Y_{1}+\cdots+a_{r}Y_{r},\qquad a_{1},\dots,a_{r}\in\mathbb{R}.
Isso é exatamente a afirmação do enunciado.

Passo 6

O enunciado pede, para cada um dos sistemas do “exercício 7”, que se encontre um conjunto de geradores (vetores que geram o espaço solução do homogêneo) e uma solução particular, quando existir.
  • Problema: o texto do exercício 7 não foi fornecido aqui. Sem os sistemas explícitos do exercício 7 não é possível calcular nem os vetores geradores do homogêneo nem uma solução particular — essas dependem dos coeficientes da matriz A e do vetor B de cada sistema. Portanto não se pode responder concretamente a (d).
Para te ajudar a fazer (d) quando tiver os sistemas, segue um procedimento prático, passo a passo (exemplo de algoritmo que podes aplicar na prova ou exercícios):
  1. Escrever a matriz aumentada [A\mid B].
  2. Aplicar eliminação de Gauss (redução por linhas) para resolver o sistema e identificar variáveis livres e pivôs.
  3. Para o homogêneo A X=\mathbf{0} aplicar a mesma redução com B=\mathbf{0}; expressar as variáveis dependentes em função das livres e escrever a solução geral em termos de parâmetros t_{1},\dots,t_{r}. Os vetores que aparecem multiplicando esses parâmetros são os geradores Y_{1},\dots,Y_{r}.
  4. Para encontrar uma solução particular de A X=B, após reduzir [A\mid B] escolher valores para as variáveis livres (por exemplo zero) e resolver as dependentes; o vetor obtido é uma X_{0} particular.
  5. Validar que toda solução geral é X_{0}+ combinação linear dos geradores do homogêneo.
Se quiser, envie os sistemas do exercício 7 (somente eles) que eu faço passo a passo para cada um: redução, geradores e uma solução particular.

Resposta

(a) A(aY_{1}+bY_{2})=\mathbf{0}, logo aY_{1}+bY_{2} é solução do homogêneo.
(b) A(X_{2}-X_{1})=\mathbf{0}, logo Y=X_{2}-X_{1} é solução do homogêneo.
(c) Para todo X solução de (*) tem-se X=X_{0}+Y com Y solução do homogêneo; reciprocamente X_{0}+Y é solução de (*) sempre que A Y=\mathbf{0}.
(d) Não é possível responder: os sistemas do exercício 7 não foram fornecidos, portanto não há como determinar aqui os geradores nem as soluções particulares.

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