Considere o sistema (
)
, com
uma matriz
e
uma matriz
.
a) Mostre que: se
e
são soluções do sistema homogêneo associado
e
e
são números reais então
também é solução do homogêneo associado.
b) Mostre que: Se
e
são soluções de (
) então
é solução do sistema homogêneo associado
.
c) Suponha que
é uma solução particular de () e mostre que qualquer solucão
de () é da forma
solução do homogêneo associado.
OBS: Na verdade pode-se provar que para todo sistema homogêneo (
)
uma matriz
, existem
soluções não nulas
, de (
) tal que toda solução
de (
) se escreve na forma
números reais (
ocorre quando (
) tem a solução nula como única solução) . Portanto, por c), se o sistema (
) tem uma solução
então toda solução
de () é do tipo
, com
números reais. A solução
é comumente chamada de solução inicial (ou particular) de (
) e o conjunto
é chamado de um conjunto de geradores do sistema () (ou simplesmente de geradores de ()) Observe ainda que
é a única solução de () somente quando
.
d) Para se convencer do que a observação acima afirma, encontre para cada um dos sistemas do exercício 7 ., um conjunto de geradores do sistema e uma solução particular (quando existir).
a) Mostre que: se
b) Mostre que: Se
c) Suponha que
d) Para se convencer do que a observação acima afirma, encontre para cada um dos sistemas do exercício 7 ., um conjunto de geradores do sistema e uma solução particular (quando existir).
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear
, onde
é uma matriz
e
é uma matriz
. As perguntas são:
- (a) Provar que, se
e são soluções do sistema homogêneo associado e , então também é solução do homogêneo. - (b) Provar que, se
e são soluções de , então é solução do homogêneo . - (c) Supondo que
é uma solução particular de , mostrar que qualquer solução de tem a forma com solução do homogêneo. - (d) Pedir para, para cada sistema do “exercício 7”, encontrar um conjunto de geradores do sistema homogêneo e uma solução particular (quando existir).
Informações relevantes dadas: a definição dos sistemas
e do homogêneo associado
; não há mais dados numéricos. Observação importante: o enunciado refere-se ao “exercício 7” para a letra (d), mas esse exercício 7 não foi fornecido aqui.
Passo 2
Antes de provar as afirmações, vamos lembrar e explicar a propriedade central que vamos usar: linearidade da multiplicação matriz-vetor.
Definição e propriedade básica (explicada passo a passo).
- Seja
uma matriz . Para um vetor coluna definimos o produto como o vetor coluna de dimensão cujas entradas são
- Desta definição segue duas propriedades simples e fundamentais (linearidade):
- Para quaisquer vetores
,
- Para qualquer escalar
e vetor ,
- Para quaisquer vetores
- Prova curta dessas propriedades (entrada a entrada): seja
. Então, para cada ,
logo
. A propriedade com escalar é análoga:
logo
. Essas relações valem para todas as entradas, portanto para os vetores inteiros.
Comentário didático: essa linearidade é exatamente o que faz o espaço de soluções do homogêneo ser um espaço vetorial (fechado sob soma e multiplicação por escalar). Vamos usar isso explicitamente nas próximas provas.
Passo 3
Provar que se
e
resolvem
e
então
também resolve.
- Hipóteses:
e . - Queremos mostrar:
para .
Usando a linearidade do produto matriz-vetor (mostrada no passo 2), temos
Pelas hipóteses
e
, obtemos
Portanto
, ou seja,
é solução do sistema homogêneo.
Explicação prática para a prova na prova (dica de exame): basta escrever explicitamente que se cada
torna todas as somas
iguais a zero para todo
, então combinações lineares também produzem soma zero em cada linha, porque a combinação linear “passa para fora” do somatório (essas são as igualdades usadas acima).
Passo 4
Provar que, se
e
são soluções de
, então
é solução do homogêneo
.
- Hipóteses:
e . - Calcular:
pela linearidade (soma e escalar
são cobertos pelas propriedades do passo 2). Substituindo as hipóteses:
Portanto
satisfaz
, isto é, é solução do sistema homogêneo.
Comentário: geometricamente/intuïtivamente, todas as soluções de
formam uma “folha” paralela ao subespaço das soluções homogêneas; a diferença entre duas soluções cai exatamente nessa subspace.
Passo 5
Mostrar que, se
é uma solução particular de
, então qualquer solução
de
é da forma
com
solução do homogêneo e, recíprocamente, qualquer vetor dessa forma é solução de
.
Primeira direção (todo
solução é
com
homogêneo):
- Se
é solução de então . Como por hipótese, subtraindo as duas igualdades obtemos
Logo
satisfaz
. Rearranjando,
com
solução do homogêneo.
Segunda direção (todo
com
é solução de
):
- Seja
tal que . Então, usando linearidade,
Portanto
é solução de
.
Conclusão: o conjunto de todas as soluções de
é exatamente a classe afim
, isto é, a solução particular mais o espaço (subespaço) das soluções do homogêneo. Em particular, se o homogêneo tem somente a solução trivial
(ou seja,
), então
é a única solução de
.
Complemento didático (ligando com a observação do enunciado): se o espaço das soluções do homogêneo tem dimensão
e é gerado pelos vetores
, então todas as soluções de
escrevem-se como
Isso é exatamente a afirmação do enunciado.
Passo 6
O enunciado pede, para cada um dos sistemas do “exercício 7”, que se encontre um conjunto de geradores (vetores que geram o espaço solução do homogêneo) e uma solução particular, quando existir.
- Problema: o texto do exercício 7 não foi fornecido aqui. Sem os sistemas explícitos do exercício 7 não é possível calcular nem os vetores geradores do homogêneo nem uma solução particular — essas dependem dos coeficientes da matriz
e do vetor de cada sistema. Portanto não se pode responder concretamente a (d).
Para te ajudar a fazer (d) quando tiver os sistemas, segue um procedimento prático, passo a passo (exemplo de algoritmo que podes aplicar na prova ou exercícios):
- Escrever a matriz aumentada
. - Aplicar eliminação de Gauss (redução por linhas) para resolver o sistema e identificar variáveis livres e pivôs.
- Para o homogêneo
aplicar a mesma redução com ; expressar as variáveis dependentes em função das livres e escrever a solução geral em termos de parâmetros . Os vetores que aparecem multiplicando esses parâmetros são os geradores . - Para encontrar uma solução particular de
, após reduzir escolher valores para as variáveis livres (por exemplo zero) e resolver as dependentes; o vetor obtido é uma particular. - Validar que toda solução geral é
combinação linear dos geradores do homogêneo.
Se quiser, envie os sistemas do exercício 7 (somente eles) que eu faço passo a passo para cada um: redução, geradores e uma solução particular.
Resposta
(a)
, logo
é solução do homogêneo.
(b) , logo
é solução do homogêneo.
(c) Para todo solução de
tem-se
com
solução do homogêneo; reciprocamente
é solução de
sempre que
.
(d) Não é possível responder: os sistemas do exercício 7 não foram fornecidos, portanto não há como determinar aqui os geradores nem as soluções particulares.
(b)
(c) Para todo
(d) Não é possível responder: os sistemas do exercício 7 não foram fornecidos, portanto não há como determinar aqui os geradores nem as soluções particulares.