2.2.4. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(a) \left[\begin{array}{cc}e^{r t} & t e^{r t} \\\ r e^{r t} & (1+r t) e^{r t}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
\begin{pmatrix} e^{r t} & t e^{r t} \\\ r e^{r t} & (1+r t) e^{r t} \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz é 2 por 2.
  • Todas as entradas contêm o fator \,e^{r t}\,.
  • As variáveis são r e t (não é pedido resolver para valores numéricos; pedido é o determinante em termos de r e t).

Passo 2

Relembrando a definição de determinante para matriz 2\times2. Para uma matriz
M=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=a d - b c.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz (cada letra representa um número ou expressão). Essa fórmula é a que usamos para computar determinantes de matrizes 2\times2.

Passo 3

Observação útil sobre fator comum: se cada entrada de uma matriz 2\times2 tem um mesmo fator escalar k, então a matriz pode ser escrita como k vezes outra matriz. Para uma matriz 2\times2 vale
\det(k\,N)=k^{2}\det(N),
porque multiplicar a matriz inteira por k é o mesmo que multiplicar cada uma das duas linhas (ou colunas) por k, e cada multiplicação de linha por k multiplica o determinante por k. No caso geral de uma matriz n\times n tem-se \det(kN)=k^{n}\det(N).
No nosso problema cada entrada contém o fator \,e^{r t}\,, então podemos escrever a matriz como
\begin{pmatrix} e^{r t} & t e^{r t} \\\ r e^{r t} & (1+r t) e^{r t} \end{pmatrix} = e^{r t} \begin{pmatrix} 1 & t \\\ r & 1+r t \end{pmatrix}.
Aplicando a propriedade do determinante para n=2, obtemos
\det\!\left(e^{r t}\begin{pmatrix}1 & t \\\ r & 1+r t\end{pmatrix}\right) =(e^{r t})^{2}\det\!\begin{pmatrix}1 & t \\\ r & 1+r t\end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos o determinante da matriz interna usando a fórmula do Passo 2. Para
N=\begin{pmatrix}1 & t \\\ r & 1+r t\end{pmatrix}
temos
\det(N)=1\cdot(1+r t)-t\cdot r.
Desenvolvendo essa expressão:
\det(N)=1 + r t - r t = 1.
Portanto
\det\!\begin{pmatrix}1 & t \\\ r & 1+r t\end{pmatrix}=1.
Substituindo no resultado do Passo 3:
\det\!\begin{pmatrix} e^{r t} & t e^{r t} \\\ r e^{r t} & (1+r t) e^{r t} \end{pmatrix}=(e^{r t})^{2}\cdot 1 = e^{2 r t}.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma conta feita diretamente com ad-bc). Se chamarmos as entradas:
a=e^{r t},\quad b=t e^{r t},\quad c=r e^{r t},\quad d=(1+r t)e^{r t},
então
ad-bc = e^{r t}\cdot(1+r t)e^{r t} - t e^{r t}\cdot r e^{r t} = e^{2 r t}(1+r t) - e^{2 r t}(r t) = e^{2 r t}.
Confirma o resultado anterior.

Resposta

e^{2 r t}

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