2.2.4. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
Informações dadas:
- A matriz é 2 por 2.
- Todas as entradas contêm o fator
. - As variáveis são
e (não é pedido resolver para valores numéricos; pedido é o determinante em termos de e ).
Passo 2
Relembrando a definição de determinante para matriz
. Para uma matriz
o determinante é dado por
Aqui
são os elementos da matriz (cada letra representa um número ou expressão). Essa fórmula é a que usamos para computar determinantes de matrizes
.
Passo 3
Observação útil sobre fator comum: se cada entrada de uma matriz
tem um mesmo fator escalar
, então a matriz pode ser escrita como
vezes outra matriz. Para uma matriz
vale
porque multiplicar a matriz inteira por
é o mesmo que multiplicar cada uma das duas linhas (ou colunas) por
, e cada multiplicação de linha por
multiplica o determinante por
. No caso geral de uma matriz
tem-se
.
No nosso problema cada entrada contém o fator
, então podemos escrever a matriz como
Aplicando a propriedade do determinante para
, obtemos
Passo 4
Agora calculamos o determinante da matriz interna usando a fórmula do Passo 2. Para
temos
Desenvolvendo essa expressão:
Portanto
Substituindo no resultado do Passo 3:
Passo 5
Verificação alternativa (mesma conta feita diretamente com
). Se chamarmos as entradas:
então
Confirma o resultado anterior.