onde \mathcal{B}=\left\{\tfrac{1}{2}x^{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}x\right\} e \mathcal{C}=\{x^{2},x,1\}.
O que o enunciado pede: mostrar que T é diagonalizável.
Informações relevantes dadas:
A matriz [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} tem colunas que são as coordenadas (na base \mathcal{C}) das imagens dos vetores da base \mathcal{B}.
As bases \mathcal{B} e \mathcal{C} estão explícitas, então é possível escrever as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} em relação a \mathcal{C}.]
Passo 2
Vou escrever as coordenadas dos vetores da base \mathcal{B} em relação à base \mathcal{C}. Lembrando que a ordem em \mathcal{C} é (x^{2},x,1).
Para b_{1}=\tfrac{1}{2}x^{2} as coordenadas em \mathcal{C} são \left(\tfrac{1}{2},0,0\right)^{T}.
Para b_{2}=-\tfrac{1}{2} as coordenadas em \mathcal{C} são \left(0,0,-\tfrac{1}{2}\right)^{T}.
Para b_{3}=\tfrac{1}{2}x as coordenadas em \mathcal{C} são \left(0,\tfrac{1}{2},0\right)^{T}.
Formo a matriz de mudança de base P cujas colunas são essas coordenadas (essa é a matriz que leva coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas em \mathcal{C}):
Recordando a relação entre matrizes quando se usa bases diferentes: se A=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} e P é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} em \mathcal{C}, então para obter a representação de T na mesma base \mathcal{C} tanto para domínio quanto para contradomínio vale
Interpretação didática: a igualdade [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}=2I significa que, para todo p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), T(p)=2p. Assim T é a aplicação identidade multiplicada por 2 (um operador escalar).
Propriedade relevante sobre diagonalizabilidade (explicação curta): uma transformação linear que é múltiplo escalar da identidade, T=\lambda \, \mathrm{Id}, tem todas as vetores não-nulos como autovetores com autovalor \lambda. Em particular existe uma base formada por autovetores (por exemplo a própria base \mathcal{C}), logo o operador é diagonalizável.
No nosso caso \lambda=2. O polinómio característico é (\lambda-2)^{3}, e a multiplicidade geométrica do autovalor 2 é 3 (a dimensão do espaço), portanto a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica e isso garante diagonalizabilidade.
Resposta
Sim. T é diagonalizável; de fato [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}=2I, logo T(p)=2p para todo p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), e existe uma base de autovetores (por exemplo \mathcal{C}).