Seja T : \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) tal que
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right)
onde \mathcal{B}=\left\{\frac{1}{2} x^{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x\right\} e \mathcal{C}=\left\{x^{2}, x, 1\right\}. Mostre que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T:\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) e a sua matriz em bases diferentes:
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix},
onde \mathcal{B}=\left\{\tfrac{1}{2}x^{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}x\right\} e \mathcal{C}=\{x^{2},x,1\}.
O que o enunciado pede: mostrar que T é diagonalizável.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} tem colunas que são as coordenadas (na base \mathcal{C}) das imagens dos vetores da base \mathcal{B}.
  • As bases \mathcal{B} e \mathcal{C} estão explícitas, então é possível escrever as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} em relação a \mathcal{C}.]

Passo 2

Vou escrever as coordenadas dos vetores da base \mathcal{B} em relação à base \mathcal{C}. Lembrando que a ordem em \mathcal{C} é (x^{2},x,1).
  • Para b_{1}=\tfrac{1}{2}x^{2} as coordenadas em \mathcal{C} são \left(\tfrac{1}{2},0,0\right)^{T}.
  • Para b_{2}=-\tfrac{1}{2} as coordenadas em \mathcal{C} são \left(0,0,-\tfrac{1}{2}\right)^{T}.
  • Para b_{3}=\tfrac{1}{2}x as coordenadas em \mathcal{C} são \left(0,\tfrac{1}{2},0\right)^{T}.
Formo a matriz de mudança de base P cujas colunas são essas coordenadas (essa é a matriz que leva coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas em \mathcal{C}):
P=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Recordando a relação entre matrizes quando se usa bases diferentes: se A=[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} e P é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} em \mathcal{C}, então para obter a representação de T na mesma base \mathcal{C} tanto para domínio quanto para contradomínio vale
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}\;P \;=\; A.
Logo
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} \;=\; A\,P^{-1}.
Aqui A é a matriz dada:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Agora observo algo prático: compare A com P. Multiplicando P por 2 obtém-se
2P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}=A.
Portanto A=2P. Como A é invertível (determinante igual a 1), P também é invertível e P^{-1}=2A^{-1}.]

Passo 4

Usando A=2P na fórmula [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}=A\,P^{-1} obtemos
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} \;=\; A\,P^{-1} \;=\; (2P)P^{-1} \;=\; 2I.
Portanto a matriz de T na base \mathcal{C} (ou seja, a representação de T no mesmo sistema de coordenadas de saída e entrada) é
[T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} = 2\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação didática: a igualdade [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}=2I significa que, para todo p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), T(p)=2p. Assim T é a aplicação identidade multiplicada por 2 (um operador escalar).
Propriedade relevante sobre diagonalizabilidade (explicação curta): uma transformação linear que é múltiplo escalar da identidade, T=\lambda \, \mathrm{Id}, tem todas as vetores não-nulos como autovetores com autovalor \lambda. Em particular existe uma base formada por autovetores (por exemplo a própria base \mathcal{C}), logo o operador é diagonalizável.
No nosso caso \lambda=2. O polinómio característico é (\lambda-2)^{3}, e a multiplicidade geométrica do autovalor 2 é 3 (a dimensão do espaço), portanto a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica e isso garante diagonalizabilidade.

Resposta

Sim. T é diagonalizável; de fato [T]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}=2I, logo T(p)=2p para todo p\in\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), e existe uma base de autovetores (por exemplo \mathcal{C}).

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