Decida se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis. Em caso afirmativo, encontre uma base de autovetores.
\left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}
e pede para decidir se ela é diagonalizável e, em caso afirmativo, encontrar uma base de autovetores.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 2\times2 com entradas a_{11}=3, a_{12}=1, a_{21}=-1, a_{22}=3.
  • O objetivo: decidir diagonalizabilidade e fornecer uma base formada por autovetores, se existir.]

Passo 2

Para decidir se uma matriz é diagonalizável, a estratégia padrão é:
  • calcular os autovalores (raízes do polinômio característico);
  • para cada autovalor encontrar autovetores não-nulos (soluções de (A-\lambda I)v=0);
  • verificar se existe um conjunto de 2 vetores próprios linearmente independentes (para uma matriz 2\times2).
Vamos começar calculando o polinômio característico usando a fórmula do determinante para matrizes 2\times2:
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1 \\[4pt] -1 & 3-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(3-\lambda)- (1)(-1).
Em seguida,
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)^2 + 1.]

Passo 3

Agora resolvemos a equação característica \det(A-\lambda I)=0:
(3-\lambda)^2 + 1 = 0.
Isto implica
(3-\lambda)^2 = -1.
Tomando raízes, obtemos
3-\lambda = \pm i \quad\Rightarrow\quad \lambda = 3 \mp i.
Portanto os autovalores são \lambda_1=3+i e \lambda_2=3-i.
Observação importante (didática): como os autovalores são complexos (não reais), não há autovalores reais. Logo:
  • Sobre o corpo dos números reais \mathbb{R}, não existem autovetores reais correspondentes a esses autovalores complexos; portanto não é possível diagonalizar A por uma matriz de mudança de base real. Em outras palavras, A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
  • Sobre o corpo dos números complexos \mathbb{C}, os autovalores são distintos ( \lambda_1\neq\lambda_2); isso garante que existam dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{C}^2, e portanto A será diagonalizável sobre \mathbb{C}.

Passo 4

Vamos encontrar um autovetor associado a \lambda_1=3+i\). Resolveremos \((A-\lambda_1 I)v=0\). Calculamos a matriz: \[A-\lambda_1 I=\begin{pmatrix}3-(3+i) & 1 \\[4pt] -1 & 3-(3+i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i & 1 \\[4pt] -1 & -i\end{pmatrix}.
Chamando v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema (A-\lambda_1 I)v=0 equivale a
\begin{cases} -i x + y = 0,\\[4pt] - x - i y = 0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos y = i x\]. Substituindo na segunda: \[- x - i(i x) = -x - i^2 x = -x + x = 0,\] que é satisfeita identicamente, portanto não há contradição. Podemos escolher \(x=1 para obter um autovetor simples. Assim um autovetor associado a \lambda_1 é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix}.
Verificação rápida (didática): aplicar A em v_1:
A v_1 = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot 1 + 1\cdot i \\[4pt] -1\cdot 1 + 3\cdot i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+i\\[4pt] -1+3i\end{pmatrix} = (3+i)\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix},
confirmando que v_1 é autovetor de \lambda_1.]

Passo 5

Agora encontramos um autovetor associado a \lambda_2=3-i. Calculamos
A-\lambda_2 I=\begin{pmatrix}3-(3-i) & 1 \\[4pt] -1 & 3-(3-i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}i & 1 \\[4pt] -1 & i\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-\lambda_2 I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, a primeira equação é i x + y = 0, então y = -i x. Escolhendo x=1 obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}.
Verificação rápida:
A v_2 = \begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 - i\\[4pt] -1 -3i\end{pmatrix} = (3-i)\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix},
confirmando que v_2 é autovetor de \lambda_2.]

Passo 6

Conclusões:
  • Sobre \mathbb{R}: A não tem autovalores reais, portanto não existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores reais. Logo A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
  • Sobre \mathbb{C}: os autovalores \lambda_1=3+i e \lambda_2=3-i são distintos, e os autovetores v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix} são linearmente independentes em \mathbb{C}^2. Portanto A é diagonalizável sobre \mathbb{C} e \{v_1,v_2\} é uma base de autovetores.
Força aí — essa é uma matriz típica de uma escala somada com uma rotação (por isso aparecem números complexos); sobre \mathbb{C} tudo fica limpinho com autovalores distintos e dois autovetores independentes.]

Resposta

Não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
É diagonalizável sobre \mathbb{C} com base de autovetores \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}\right\}.]

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