Decida se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis. Em caso afirmativo, encontre uma base de autovetores. \left(\begin{array}{cc}3 & 1 \\\\ -1 & 3\end{array}\right)
Agora resolvemos a equação característica \det(A-\lambda I)=0:
(3-\lambda)^2 + 1 = 0.
Isto implica
(3-\lambda)^2 = -1.
Tomando raízes, obtemos
3-\lambda = \pm i \quad\Rightarrow\quad \lambda = 3 \mp i.
Portanto os autovalores são \lambda_1=3+i e \lambda_2=3-i.
Observação importante (didática): como os autovalores são complexos (não reais), não há autovalores reais. Logo:
Sobre o corpo dos números reais \mathbb{R}, não existem autovetores reais correspondentes a esses autovalores complexos; portanto não é possível diagonalizar A por uma matriz de mudança de base real. Em outras palavras, A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Sobre o corpo dos números complexos \mathbb{C}, os autovalores são distintos (\lambda_1\neq\lambda_2); isso garante que existam dois autovetores linearmente independentes em \mathbb{C}^2, e portanto A será diagonalizável sobre \mathbb{C}.
Passo 4
Vamos encontrar um autovetor associado a \lambda_1=3+i\). Resolveremos \((A-\lambda_1 I)v=0\). Calculamos a matriz:
\[A-\lambda_1 I=\begin{pmatrix}3-(3+i) & 1 \\[4pt] -1 & 3-(3+i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-i & 1 \\[4pt] -1 & -i\end{pmatrix}.
Chamando v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema (A-\lambda_1 I)v=0 equivale a
\begin{cases} -i x + y = 0,\\[4pt] - x - i y = 0. \end{cases}
Da primeira equação obtemos y = i x\]. Substituindo na segunda:
\[- x - i(i x) = -x - i^2 x = -x + x = 0,\]
que é satisfeita identicamente, portanto não há contradição. Podemos escolher \(x=1 para obter um autovetor simples. Assim um autovetor associado a \lambda_1 é
Resolvendo (A-\lambda_2 I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, a primeira equação é i x + y = 0, então y = -i x. Escolhendo x=1 obtemos o autovetor
Sobre \mathbb{R}: A não tem autovalores reais, portanto não existe uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores reais. Logo A não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Sobre \mathbb{C}: os autovalores \lambda_1=3+i e \lambda_2=3-i são distintos, e os autovetores v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix} e v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix} são linearmente independentes em \mathbb{C}^2. Portanto A é diagonalizável sobre \mathbb{C} e \{v_1,v_2\} é uma base de autovetores.
Força aí — essa é uma matriz típica de uma escala somada com uma rotação (por isso aparecem números complexos); sobre \mathbb{C} tudo fica limpinho com autovalores distintos e dois autovetores independentes.]
Resposta
Não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
É diagonalizável sobre \mathbb{C} com base de autovetores \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt] i\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i\end{pmatrix}\right\}.]