raiz[5]32-x+raiz[5]1+x=3

Passo 1

O enunciado dá a equação com raízes quinquis: raiz[5]32-x+raiz[5]1+x=3. O conteúdo aqui é equação com raízes de índice 5 e vamos precisar usar substituição para transformar num sistema em soma e produto de duas quantidades.

Passo 2

Definimos a=raiz[5]32-x e b=raiz[5]1+x. Da equação original vem
a+b=3
e, somando as potências quíntuplas,
a^5+b^5=(32-x)+(1+x)=33.

Passo 3

Para relacionar a^5+b^5 com a+b e ab, aplicamos a identidade
a^5+b^5=(a+b)^5-5ab,(a+b)^3+5(ab)^2,(a+b)
Como a+b=3, isso vira
a^5+b^5=3^5-5p,3^3+5p^2,3=243-135p+15p^2,
onde p=ab. Igualando a 33 obtemos
15p^2-135p+(243-33)=0 15p^2-135p+210=0 p^2-9p+14=0
De onde sai p=2 ou p=7.

Passo 4

Agora relacionamos ab=p com x. Como a^5b^5=(ab)^5, temos
(32-x)(1+x)=p^5
Para p=2 vem
(32-x)(1+x)=2^5=32 x^2-31x=0
cuja solução é x=0 ou x=31.
Para p=7 daria uma equação quadrática com discriminante negativo para a,b reais, então não gera x real compatível.

Passo 5

Verificamos rapidamente na equação original: para x=0 e x=31 temos respectivamente
raiz[5]32+raiz[5]1=2+1=3 e raiz[5]1+raiz[5]32=1+2=3, ambas valem 3. Portanto são soluções válidas.

Resposta

{0,,31}

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