Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo pelo método do fator integrante, em seguida, utilize a condição inicial para determinar a solução particular:
e) Equação diferencial: x cdot y^prime+x cdot y=x^3, com a condição inicial y=4 e quando x=1.

Passo 1

Temos a equação diferencial x y' + x y = x^3, que é uma ODE linear de primeira ordem. Para usar fator integrante, vamos colocá-la na forma padrão y' + P(x)y = Q(x) e achar mu(x) = e^integral P(x)dx.

Passo 2

Dividindo tudo por x (considerando xneq0), obtemos y' + y = x^2. Aqui identificamos P(x)=1 e Q(x)=x^2. Com P(x)=1, o fator integrante é mu(x)=e^x. Multiplicando por e^x a equação vira
ddx(e^x y) = x^2 e^x
Integrando ambos os lados em relação a x:
integralddx(e^x y),dx = integral x^2 e^x,dx
Usando integração por partes, temos
integral x^2 e^x,dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C1
Logo
$$
e^x y = ex(x2 - 2x + 2) + C.$$
Isolando e^x y = e^x(x^2 - 2x + 2) + C ficamos com
y

Passo 3

Aplicando a condição inicial y(1)=4e: no ponto x=1 temos

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Resposta

A solução particular é
y(x) = x^2 - 2x + 2 + e(4e - 1)e^-x

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