Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo pelo método do fator integrante, em seguida, utilize a condição inicial para determinar a solução particular:
e) Equação diferencial:
, com a condição inicial
quando
.
e) Equação diferencial:
Passo 1
Temos a equação diferencial
, que é uma ODE linear de primeira ordem. Para usar fator integrante, vamos colocá-la na forma padrão
e achar
.
Passo 2
Dividindo tudo por
(considerando
), obtemos
. Aqui identificamos
e
. Com
, o fator integrante é
. Multiplicando por
a equação vira
Integrando ambos os lados em relação a
Usando integração por partes, temos
Logo
$$
e^x y = ex(x2 - 2x + 2) + C.$$
Isolando ficamos com
Isolando
Passo 3
Aplicando a condição inicial
: no ponto
temos
logo
logo
Resposta
A solução particular é