Determine todos os valores possíveis da integral
sobre uma curva simples lisa por partes que não passe pela origem.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral de linha
(1) de (1,0) a (2,2) da forma
(1) de (1,0) a (2,2) da forma
em qualquer curva simples e lisa por partes que não passe pela origem. Esse problema está no contexto de formas diferenciais em R^2{0}, onde podemos usar coordenadas polares e o conceito de argumento (ângulo) para resolver.
Passo 2
(2) Note que, em coordenadas polares (x= r cosθ, y= r sinθ), temos
e
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Isto mostra que a forma é igual ao diferencial do ângulo θ. Em R^2{0} essa forma é fechada, mas não é exata globalmente, pois o domínio não é simplesmente conexo.
Passo 3
(3) A integral de dθ entre os pontos equivale à variação do argumento polar θ na curva. No ponto inicial (1,0) temos θ=0, e no ponto final (2,2) o argumento vale
Se a curva não der voltas completas em torno da origem, a variação de θ é simplesmente π/4.
Passo 4
(4) Porém, como o domínio exclui a origem, a curva pode dar n voltas inteiras em torno de (0,0) antes de chegar ao ponto final. Cada volta completa acrescenta ou subtrai 2π à variação total de θ. Por isso o valor geral da integral é dado por
Resposta
Os possíveis valores são