Passo 1
O enunciado dá a EDO não-homogênea
com condições iniciais
y(0)=0 ,
y'(0)=0 , onde
O conteúdo é solução de EDO linear por convolução (ou princípio de Duhamel). A resposta é
Passo 2
Expressamos a solução por convolução:
Vamos calcular esse integral em cada intervalo onde
f muda.
Passo 3
Caso
0<= t<1 temos
f(tau)=tau para
tauin[0,t] , logo
Fazendo integração por partes com
u=tau ,
dv=sin(t-tau)dtau , obtém-se
Passo 4
Caso
1<= t<2 dividimos
A primeira parte vale
e a segunda parte, por cálculo semelhante, dá
Somando e cancelando termos, achamos
Passo 5
Caso
t>=2 temos
Repetindo o mesmo tipo de cálculo, surge a expressão final
Resposta
Para a solução completa: