y^prime prime+y= t, & 0 <= t<1, 2-t, & 1 <= t<2, y(0)=0, y^prime(0)=0 0, & 2 <= t<infty ;

Passo 1

O enunciado dá a EDO não-homogênea
y'' + y = f(t),
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, onde
f(t)= t, & 0<= t<1, 2-t, & 1<= t<2, 0, & t>=2
O conteúdo é solução de EDO linear por convolução (ou princípio de Duhamel). A resposta é
y(t)=integral0^tf(tau),sinl(t-taur),dtau

Passo 2

Expressamos a solução por convolução:
y(t)=integral0^tf(tau),sinl(t-taur),dtau
Vamos calcular esse integral em cada intervalo onde f muda.

Passo 3

Caso 0<= t<1 temos f(tau)=tau para tauin[0,t], logo
y(t)=integral0^ttau,sinl(t-taur),dtau
Fazendo integração por partes com u=tau, dv=sin(t-tau)dtau, obtém-se
y(t)=sin(t)-t

Passo 4

Caso 1<= t<2 dividimos
y(t)=integral0^1tausin(t-tau)dtau+integral1^t(2-tau)sin(t-tau)dtau
A primeira parte vale
sin(t)-sin(t-1)-cos(t-1),
e a segunda parte, por cálculo semelhante, dá
(2-t)-cos(t-1)+sin(t-1)
Somando e cancelando termos, achamos
y(t)=sin(t)-t+2-2cosl(t-1r)

Passo 5

Caso t>=2 temos
y(t)=integral0^1tausin(t-tau)dtau +integral1^2(2-tau)sin(t-tau)dtau
Repetindo o mesmo tipo de cálculo, surge a expressão final
y(t)=sin(t)-2cosl(t-1r)-sinl(t-2r)

Resposta

Para a solução completa:
y(t)= sin(t)-t, & 0<= t<1, sin(t)-t+2-2cos(t-1), & 1<= t<2, sin(t)-2cos(t-1)-sin(t-2), & t>=2

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