Considere o conjunto S de todos os números reais x in [0,1] que tem uma expansão decimal da forma
x = 0, d1 d2 d3 ... dn ...
onde todos os dígitos di então no conjunto {0, 2, 3, 4, 6, 7, 9}. Indique a afirmação falsa.
(b) Há uma bijeção entre S e [0,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um conjunto S de números reais no intervalo [0,1]. Esses números têm uma expansão decimal onde cada dígito só pode ser ou . A questão pede pra gente identificar qual afirmação é falsa, e a parte (b) diz: "Há uma bijeção entre S e [0,1]". Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma bijeção e pensar sobre o tamanho desses conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma bijeção. Uma bijeção é uma função que relaciona cada elemento de um conjunto com exatamente um elemento de outro conjunto, sem deixar nenhum de fora e sem repetir. Ou seja, cada número em S corresponde a um único número em [0,1] e vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos pensar sobre o tamanho desses conjuntos. O intervalo [0,1] é um conjunto não numerável, significa que tem tantos números que não conseguimos listá-los todos. Isso é o que a gente chama de “infinito não enumerável”.

Passo 4

O conjunto S também parece ser não numerável, porque mesmo com as restrições nos dígitos, ainda tem uma infinidade de combinações possíveis. Cada posição decimal pode ter 7 opções, e como temos infinitas posições, o total de combinações é infinito.

Passo 5

Como ambos os conjuntos, S e [0,1], são não numeráveis e têm a mesma “tamanho” infinito, existe uma bijeção entre eles. Isso significa que a afirmação (b) está correta.

Resposta

A afirmação (b) é verdadeira; há uma bijeção entre S e [0,1].

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