Considere o conjunto
de todos os números reais
que tem uma expansão decimal da forma
onde todos os dígitos
então no conjunto
. Indique a afirmação falsa.
(b) Há uma bijeção entre
e
.
(b) Há uma bijeção entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um conjunto
de números reais no intervalo
. Esses números têm uma expansão decimal onde cada dígito só pode ser
ou
. A questão pede pra gente identificar qual afirmação é falsa, e a parte (b) diz: "Há uma bijeção entre
e
". Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma bijeção e pensar sobre o tamanho desses conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma bijeção. Uma bijeção é uma função que relaciona cada elemento de um conjunto com exatamente um elemento de outro conjunto, sem deixar nenhum de fora e sem repetir. Ou seja, cada número em
corresponde a um único número em
e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos pensar sobre o tamanho desses conjuntos. O intervalo
é um conjunto não numerável, significa que tem tantos números que não conseguimos listá-los todos. Isso é o que a gente chama de “infinito não enumerável”.
Passo 4
O conjunto
também parece ser não numerável, porque mesmo com as restrições nos dígitos, ainda tem uma infinidade de combinações possíveis. Cada posição decimal pode ter 7 opções, e como temos infinitas posições, o total de combinações é infinito.
Passo 5
Como ambos os conjuntos,
e
, são não numeráveis e têm a mesma “tamanho” infinito, existe uma bijeção entre eles. Isso significa que a afirmação (b) está correta.
Resposta
A afirmação (b) é verdadeira; há uma bijeção entre
e
.