Quanto ao empuxo sobre superfícies curvas julgue a afirmação:
“O peso do volume de líquido abaixo da superfície é igual à resultante da componente vertical. Podendo ser um peso fictício em certos casos.”
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado pede que eu julgue a afirmação: “O peso do volume de líquido abaixo da superfície é igual à resultante da componente vertical. Podendo ser um peso fictício em certos casos.”
Informações fornecidas (o que a frase afirma, explicitamente):
  • Há uma superfície curva submetida à pressão de um líquido.
  • Fala-se da componente vertical da força resultante atuando nessa superfície.
  • Afirma-se que essa componente vertical é igual ao peso do volume de líquido “abaixo da superfície”.
  • Diz também que esse “peso” pode ser fictício em alguns casos.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (muito práticos e curtos, sem jargão):
  • Pressão hidrostática: a pressão a uma profundidade z no líquido é
p(z)=\rho g z,
onde \rho é a massa específica do líquido, g é a aceleração da gravidade e z é a profundidade medida a partir da superfície livre (assumindo pressão atmosférica zero de referência).
  • Força sobre uma pequena área: a força diferencial decorrente da pressão sobre um elemento de área dA é
d\mathbf{F}=p\,\mathbf{n}\,dA,
onde \mathbf{n} é o vetor normal à superfície apontando para fora (a direção do vetor é importante, mas agora vamos separar componentes).

Passo 3

Como obter a componente vertical da força sobre um pequeno elemento da superfície curva.
Considere um elemento de área dA da superfície, localizado à profundidade z. A pressão naquele ponto é p(z)=\rho g z. Seja \theta o ângulo entre a normal à superfície e a vertical; então a componente vertical (magnitude) da força sobre esse elemento é
dF_v = p(z)\,dA\cos\theta.
Agora note que dA\cos\theta é exatamente a projeção horizontal do elemento dA (é o elemento de área projetado sobre um plano horizontal). Denotando essa projeção por dA_h, temos
dA_h = dA\cos\theta,
portanto
dF_v = p(z)\,dA_h.

Passo 4

Integração sobre toda a superfície curva para obter a resultante vertical.
A resultante vertical é a soma (integral) de todos esses dF_v:
F_v=\int_{\text{superfície}} dF_v=\int_{\text{projeção horizontal}} p(z)\,dA_h.íçã
Repare que ao integrar sobre a projeção horizontal estamos somando a pressão em cada ponto da projeção multiplicada pela área diferencial da projeção.
Agora use que a pressão em profundidade z pode ser vista como o peso por unidade de área da coluna de líquido acima desse ponto:
p(z)=\int_{0}^{z} \rho g\,dz'.
Substituindo em F_v e trocando a ordem de integração (interpretação física: somar o peso de todas as colunas elementares de líquido sobre cada dA_h) obtemos
F_v=\int_{\text{projeção}} \left(\int_{0}^{z(x,y)} \rho g\,dz'\right) dA_h =\rho g \int_{\text{volume}} dV,çã
onde a integral sobre o volume é exatamente o volume do líquido verticalmente acima da projeção até a superfície livre. Portanto
F_v=\rho g V_{\text{acima}},
ou seja, F_v é igual ao peso do volume de líquido que está acima da projeção horizontal da superfície — isto é, o peso do volume de líquido “sobre” (ou “acima de”) a superfície curva, medido verticalmente.

Passo 5

Interpretação do termo “peso fictício” e casos especiais (explicação prática).
  • No caso usual de uma superfície curva que separa o líquido do ar e que tem acima dela um volume real de líquido até a superfície livre, o F_v corresponde ao peso real desse volume de líquido.
  • Em situações em que não exista realmente esse volume (por exemplo, superfície interna entre dois compartimentos com líquidos diferentes, ou uma superfície imaginária usada para análise), a mesma fórmula matemática dá um valor igual ao peso que esse volume teria se fosse preenchido pelo mesmo líquido — por isso chamamos às vezes de “peso fictício”. Mesmo sendo “fictício”, a igualdade matemática entre F_v e esse peso hipotético mantém-se e é útil para cálculos.
    Portanto a afirmação admite naturalmente a possibilidade de ser um peso fictício quando o volume considerado não existe fisicamente, mas a relação continua válida.

Passo 6

Resumo e conclusão didática (motivação breve).
  • A componente vertical da resultante hidrostática sobre uma superfície curva é obtida projetando-se a superfície horizontalmente e integrando-se a pressão sobre essa projeção.
  • Essa integral é algebraicamente igual ao peso do líquido contido no volume vertical acima da projeção.
  • Se esse volume existir fisicamente, é o peso real; se não existir, é um “peso fictício” que ainda representa corretamente a componente vertical da força.

Resposta

Verdadeiro

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