Quanto ao empuxo sobre superfícies curvas julgue a afirmação:
“O peso do volume de líquido abaixo da superfície é igual à resultante da componente vertical. Podendo ser um peso fictício em certos casos.”
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
“O peso do volume de líquido abaixo da superfície é igual à resultante da componente vertical. Podendo ser um peso fictício em certos casos.”
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue a afirmação: “O peso do volume de líquido abaixo da superfície é igual à resultante da componente vertical. Podendo ser um peso fictício em certos casos.”
Informações fornecidas (o que a frase afirma, explicitamente):
Informações fornecidas (o que a frase afirma, explicitamente):
- Há uma superfície curva submetida à pressão de um líquido.
- Fala-se da componente vertical da força resultante atuando nessa superfície.
- Afirma-se que essa componente vertical é igual ao peso do volume de líquido “abaixo da superfície”.
- Diz também que esse “peso” pode ser fictício em alguns casos.
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (muito práticos e curtos, sem jargão):
- Pressão hidrostática: a pressão a uma profundidade
no líquido é
onde
é a massa específica do líquido,
é a aceleração da gravidade e
é a profundidade medida a partir da superfície livre (assumindo pressão atmosférica zero de referência).
- Força sobre uma pequena área: a força diferencial decorrente da pressão sobre um elemento de área
é
onde
é o vetor normal à superfície apontando para fora (a direção do vetor é importante, mas agora vamos separar componentes).
Passo 3
Como obter a componente vertical da força sobre um pequeno elemento da superfície curva.
Considere um elemento de área da superfície, localizado à profundidade
. A pressão naquele ponto é
. Seja
o ângulo entre a normal à superfície e a vertical; então a componente vertical (magnitude) da força sobre esse elemento é
Considere um elemento de área
Agora note que
é exatamente a projeção horizontal do elemento
(é o elemento de área projetado sobre um plano horizontal). Denotando essa projeção por
, temos
portanto
Passo 4
Integração sobre toda a superfície curva para obter a resultante vertical.
A resultante vertical é a soma (integral) de todos esses :
A resultante vertical é a soma (integral) de todos esses
Repare que ao integrar sobre a projeção horizontal estamos somando a pressão em cada ponto da projeção multiplicada pela área diferencial da projeção.
Agora use que a pressão em profundidade
pode ser vista como o peso por unidade de área da coluna de líquido acima desse ponto:
Substituindo em
e trocando a ordem de integração (interpretação física: somar o peso de todas as colunas elementares de líquido sobre cada
) obtemos
onde a integral sobre o volume é exatamente o volume do líquido verticalmente acima da projeção até a superfície livre. Portanto
ou seja,
é igual ao peso do volume de líquido que está acima da projeção horizontal da superfície — isto é, o peso do volume de líquido “sobre” (ou “acima de”) a superfície curva, medido verticalmente.
Passo 5
Interpretação do termo “peso fictício” e casos especiais (explicação prática).
- No caso usual de uma superfície curva que separa o líquido do ar e que tem acima dela um volume real de líquido até a superfície livre, o
corresponde ao peso real desse volume de líquido. - Em situações em que não exista realmente esse volume (por exemplo, superfície interna entre dois compartimentos com líquidos diferentes, ou uma superfície imaginária usada para análise), a mesma fórmula matemática dá um valor igual ao peso que esse volume teria se fosse preenchido pelo mesmo líquido — por isso chamamos às vezes de “peso fictício”. Mesmo sendo “fictício”, a igualdade matemática entre
e esse peso hipotético mantém-se e é útil para cálculos.
Portanto a afirmação admite naturalmente a possibilidade de ser um peso fictício quando o volume considerado não existe fisicamente, mas a relação continua válida.
Passo 6
Resumo e conclusão didática (motivação breve).
- A componente vertical da resultante hidrostática sobre uma superfície curva é obtida projetando-se a superfície horizontalmente e integrando-se a pressão sobre essa projeção.
- Essa integral é algebraicamente igual ao peso do líquido contido no volume vertical acima da projeção.
- Se esse volume existir fisicamente, é o peso real; se não existir, é um “peso fictício” que ainda representa corretamente a componente vertical da força.
Resposta
Verdadeiro