Resolva o PVI:
y' = 2x / (1 + 2y) , y(2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI). A equação que temos é e a condição inicial é . Vamos usar o conceito de separação de variáveis, que é uma técnica pra resolver equações diferenciais onde a gente consegue separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todas as expressões envolvendo fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro. A equação original é:
Sabemos que , então podemos reescrever como:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por e por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados para encontrar em função de . A integral de é:
E a integral de é:
Podemos juntar as constantes de integração, já que e são constantes arbitrárias, então vamos escrever . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante . Substituindo e na equação:
Então, a equação fica:

Passo 5

Para encontrar em função de , precisamos resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação , temos:
Aqui, , e . Substituindo:
Para que a solução seja real, o discriminante precisa ser maior ou igual a zero:
Considerando a condição inicial , escolhemos a solução positiva:

Resposta

A solução do PVI é:

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