Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y, z)=x z i+y x j+z y k
sobre uma partícula que se move ao longo da curva
r(t)=t^2 i-t^3 j+t^4 k, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z)=x z,i+y x,j+z y,k ao longo da curva parametrizada por r(t)=t^2i-t^3j+t^4k, para 0<= t<=1. Isso é um caso de integral de linha do tipo
W=integralCFcdot dr,
onde vamos parametrizar, calcular r'(t), avaliar F na curva e integrar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada da parametrização, que nos dá o elemento infinitesimal de deslocamento:
r'(t)=ddtl(t^2,,-t^3,,t^4r) =(2t,,-3t^2,,4t^3)

Passo 3

Em seguida, substituímos (x,y,z)=(t^2,-t^3,t^4) em F para obter F(r(t)):
F(r(t)) =l(xz,;yx,;zyr)|(t^2,-t^3,t^4) =l(t^2cdot t^4,;-t^3cdot t^2,;t^4cdot(-t^3)r) =(t^6,,-t^5,,-t^7)

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar F(r(t))cdot r'(t):
F(r(t))cdot r'(t) =t^6cdot(2t)+(-t^5)cdot(-3t^2)+(-t^7)cdot(4t^3) =2t^7+3t^7-4t^10 =5t^7-4t^10

Passo 5

Finalmente, integramos de t=0 a t=1:
W=integral0^1l(5t^7-4t^10r),dt =5integral0^1t^7,dt-4integral0^1t^10,dt =5cdot18-4cdot111 =58-411 =55-3288 =2388

Resposta

O trabalho realizado é 2388.

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