Sketch the curve with the given polar equation.
r=2 cos (3 theta / 2)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva polar
r = 2cos!l(tfrac3theta2r)
e pede o seu esboço. Aqui estamos estudando curvas dadas em coordenadas polares: para entender a forma do gráfico, vamos determinar o período de r(theta), os ângulos em que r=0, os máximos e mínimos de r, em que intervalos r é positivo ou negativo, e a forma dos “laços” que isso gera.

Passo 2

Determinar o período de r(theta).
Queremos De<atheta tal que
cos!l(tfrac3(theta+De<atheta)2r) =cos!l(tfrac3theta2+2pir)
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tfrac3De<atheta2=2pi Longrightarrow De<atheta = tfrac4pi3
Assim r(theta) se repete a cada 4pi/3. Num intervalo de 0 a 2pi 2pi/(4pi/3)=3/2 períodos, o que significa que veremos 3 laços (cada período gera um laço para r>0 e outro para r<0, e na sobreposição dá 3 laços distintos).

Passo 3

Encontrar os zeros de r:
2cos!l(tfrac3theta2r)=0 Long<=ftrightarrow tfrac3theta2=tfracpi2 +kpi Longrightarrow theta = tfracpi3 + tfrac2kpi3
Em [0,2pi) isso dá
theta=pi/3,;pi,;5pi/3. Nesses ângulos o raio muda de sinal e gera os fim/início dos laços.

Passo 4

Máximos e mínimos de r:
rmax=2quandocos!l(tfrac3theta2r)=1 ;Longrightarrow; tfrac3theta2=2kpi ;Longrightarrow; theta = tfrac4kpi3
Em [0,2pi) theta=0 e theta=4pi/3 dão r=2.
rmin=-2quandocos!l(tfrac3theta2r)=-1 ;Longrightarrow; tfrac3theta2=pi+2kpi ;Longrightarrow; theta = tfrac2pi3+ tfrac4kpi3
Em [0,2pi) vem theta=2pi/3 (e também theta=2pi, equivalente a 0). Nesses theta o raio vale -2, o que corresponde a um ponto de distância 2 mas virado em theta+pi.

Passo 5

Analisar o sinal de r em cada intervalo que separa os zeros:
  • Para 0<= theta<pi/3, cos(3theta/2)>0; Longrightarrow r>0. Isso gera o primeiro laço, com ponta em theta=0 (raio máximo 2) e terminando em theta=pi/3 (raio 0).
  • Para pi/3<theta<pi, cos(3theta/2)<0; Longrightarrow r<0. Esse pedaço se plota invertido, apontando para theta+piin(4pi/3,2pi), e forma o segundo laço. O máximo absoluto |r|=2 ocorre em theta=2pi/3, que dá no gráfico um ponto em theta+ pi=5pi/3.
  • Para pi<theta<5pi/3, cos(3theta/2)>0; Longrightarrow r>0. Gera o terceiro laço, com ponta em theta=4pi/3 (raio 2) e indo até theta=5pi/3 (raio 0).
  • Para 5pi/3<theta<2pi temos de novo r<0, mas esse segmento é parte de um novo período repetido, então não aparece laço novo, só repete o laço de 0<=theta<pi/3.

Passo 6

Descrição do esboço:
  • Laço em , com ponta no eixo polar a .
  • Laço em invertido, apontando para , com ponta em a distância .
  • Laço em , com ponta em e raio .
    Unindo esses seis zeros e extremos e ligando suavemente, obtém-se a curva com três laços iguais, como mostrado abaixo:
Esboço aproximado (cada laço de “comprimento” , partindo dos ângulos indicados)
ççç

Resposta

A curva consiste em três laços obtidos nos intervalos de theta determinados acima, cada um de raio máximo 2, conforme o esboço descrito.

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