Sketch the curve with the given polar equation.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva polar
e pede o seu esboço. Aqui estamos estudando curvas dadas em coordenadas polares: para entender a forma do gráfico, vamos determinar o período de
, os ângulos em que
, os máximos e mínimos de
, em que intervalos
é positivo ou negativo, e a forma dos “laços” que isso gera.
Passo 2
Determinar o período de
.
Queremos tal que
Queremos
Logo
Assim
se repete a cada
. Num intervalo de
a
há
períodos, o que significa que veremos
laços (cada período gera um laço para
e outro para
, e na sobreposição dá
laços distintos).
Passo 3
Encontrar os zeros de
:
Em
isso dá
. Nesses ângulos o raio muda de sinal e gera os fim/início dos laços.
Passo 4
Máximos e mínimos de
:
Em
só
e
dão
.
Em
vem
(e também
, equivalente a
). Nesses
o raio vale
, o que corresponde a um ponto de distância
mas virado em
.
Passo 5
Analisar o sinal de
em cada intervalo que separa os zeros:
- Para
, ; . Isso gera o primeiro laço, com ponta em (raio máximo ) e terminando em (raio ). - Para
, ; . Esse pedaço se plota invertido, apontando para , e forma o segundo laço. O máximo absoluto ocorre em , que dá no gráfico um ponto em . - Para
, ; . Gera o terceiro laço, com ponta em (raio ) e indo até (raio ). - Para
temos de novo , mas esse segmento é parte de um novo período repetido, então não aparece laço novo, só repete o laço de .
Passo 6
Descrição do esboço:
- Laço
em , com ponta no eixo polar a . - Laço
em invertido, apontando para , com ponta em a distância . - Laço
em , com ponta em e raio .
Unindo esses seis zeros e extremos e ligando suavemente, obtém-se a curva com três laços iguais, como mostrado abaixo:
Esboço aproximado (cada laço de “comprimento”
, partindo dos ângulos indicados)
Resposta
A curva consiste em três laços obtidos nos intervalos de
determinados acima, cada um de raio máximo
, conforme o esboço descrito.